Cho x,y thỏa mãn ( \(\sqrt{2+x^2}\) - x) (y + \(\sqrt{2+y^2}\)) = 2. CMR: x=y
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TH
0
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 2 2021
\(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c}\right)\Rightarrow ab+bc+ca=2020\)
BĐT trở thành:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+a+b+c+\sqrt{2020+a^2}+\sqrt{2020+b^2}+\sqrt{2020+c^2}\le\dfrac{2020.2021}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{ab+bc+ca}{abc}+a+b+c+\sqrt{2020+a^2}+\sqrt{2020+b^2}+\sqrt{2020+c^2}\le\dfrac{2020.2021}{abc}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c+\sqrt{2020+a^2}+\sqrt{2020+b^2}+\sqrt{2020+c^2}\le\dfrac{2020^2}{abc}\)
Ta có: \(\sqrt{2020+a^2}=\sqrt{ab+bc+ca+a^2}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le\dfrac{1}{2}\left(2a+b+c\right)\)
Tương tự:...
\(\Rightarrow\sqrt{2020+a^2}+\sqrt{2020+b^2}+\sqrt{2020+c^2}\le2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow a+b+c+\sqrt{2020+a^2}+\sqrt{2020+b^2}+\sqrt{2020+c^2}\le3\left(a+b+c\right)\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(3\left(a+b+c\right)\le\dfrac{2020^2}{abc}=\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{abc}\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\) (hiển nhiên đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\) hay \(x=y=z\)
NT
1
ML
3 tháng 8 2016
Áp dụng bđt \(\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\ge\left(ac+bd\right)^2\)
Dấu bằng xảy ra khi \(ad=bc\)
\(x\sqrt{1-y^2}+\sqrt{1-x^2}.y\le\left|x\sqrt{1-y^2}+\sqrt{1-x^2}.y\right|\le\sqrt{x^2+1-x^2}.\sqrt{1-y^2+y^2}=1\)
Dấu bằng xảy ra khi \(xy=\sqrt{1-x^2}.\sqrt{1-y^2}\Leftrightarrow x^2y^2=x^2y^2+1-\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2=1\)
MC
30 tháng 10 2018
VẬy bạn giải ra cho mọi người xem được ko?
Lớn hơn hoặc bằng kí hiệu trong Latex là \geq nha!
\(GT\Rightarrow\left(\sqrt{2+x^2}-x\right)\left(\sqrt{2+x^2}+x\right)\left(\sqrt{2+y^2}+y\right)=2\left(\sqrt{2+x^2}+x\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(\sqrt{2+y^2}+y\right)=2\left(\sqrt{2+x^2}+x\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2+x^2}+x-\sqrt{2+y^2}-y=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{\sqrt{2+x^2}+\sqrt{2+y^2}}+\left(x-y\right)=0\)
TH1:\(x-y=0\Leftrightarrow x=y\left(đpcm\right)\)
TH2: \(x+y+\sqrt{2+x^2}+\sqrt{2+y^2}=0\)
Ta có: \(x\ge-\sqrt{x^2}\); \(y\ge-\sqrt{y^2}\)
\(\Rightarrow x+y+\sqrt{2+x^2}+\sqrt{2+y^2}\ge\sqrt{2+x^2}-\sqrt{x^2}+\sqrt{2+y^2}-\sqrt{y^2}>0\)
Do vậy TH2 không có x,y tm
Vậy ta có đpcm