Cho \(x,y,z>0\)và \(x+y+z\le xyz\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
\(P=\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2zx}+\frac{1}{z^2+2xy}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
RR
13 tháng 5 2018
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy , ta có :
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)
<=> \(xyz\ge3\sqrt[3]{xyz}\)
<=> \(x^3y^3z^3\ge27xyz\)
<=> \(x^2y^2z^2\ge27\)
<=> \(\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\ge3\)
Ta có
\(P=\frac{1}{x^2+yz+yz}+\frac{1}{y^2+zx+zx}+\frac{1}{z^2+xy+xy}\le\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}\le\frac{1}{3}\)
Vậy Max = 1/3
20 tháng 9 2020
\(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\Rightarrow ab+bc+ca=1\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{2b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{2c}{\sqrt{1+c^2}}\)
Áp dụng BĐT AM-GM: \(P=\frac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)
\(\le a\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)+b\left(\frac{1}{4\left(a+b\right)}+\frac{1}{a-b}\right)-c\left(\frac{1}{4\left(b+c\right)}+\frac{1}{a-c}\right)=\frac{9}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{\sqrt{15}}{7};\sqrt{15};\sqrt{15}\right)\)
từ giả thiết ta suy ra \(\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\ge3\)
lại có x2 + 2yz = x2 + yz + yz \(\ge\)3\(\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\)\(\ge\)9
nên \(\frac{1}{x^2+2yz}\le\frac{1}{9}\)
tương tự với 2 số còn lại nên ta được P \(\le\frac{1}{3}\)
dấu "=" xảy ra khi x = y = z = \(\sqrt{3}\)