Question

[Cần Cần]

\(\frac{x^2+y^2}{2xy}+\frac{y^2+z^2}{2yz}+\frac{z^2+x^2}{2xz}\ge x+y+z\)

Answer 1

[Thắng Nguyễn]

Sửa đề: cho x,y,z dương. CMR \(\frac{x^3+y^3}{2xy}+\frac{y^3+z^3}{2yz}+\frac{z^3+x^2}{2xz}\ge x+y+z\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)

\(\ge\left(x+y\right)\left(2\sqrt{x^2y^2}-xy\right)\)

\(=\left(x+y\right)\left(2xy-xy\right)=xy\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow\frac{x^3+y^3}{2xy}\ge\frac{xy\left(x+y\right)}{2xy}=\frac{x+y}{2}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta có:

\(\frac{y^3+z^3}{2yz}\ge\frac{y+z}{2};\frac{z^3+x^3}{2xz}\ge\frac{x+z}{2}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT\ge\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}=x+y+z=VP\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z\)

Answer 2

[alibaba nguyễn]

Đề sai rồi. Không cho x, y, z dương hay không là đã sai rồi. Giả sử đã cho dương rồi thì vẫn sai.

Thế \(x=y=z=2\) vào thì ta được

\(\frac{2^2+2^2}{2.2.2}+\frac{2^2+2^2}{2.2.2}+\frac{2^2+2^2}{2.2.2}\ge2+2+2\)

\(\Leftrightarrow3\ge6\) sai.