Cho ab/bc=b/c.Chứng minh a^2+b^2/c^2+d^2=a/c
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 5 2021
a.
\(\Leftrightarrow2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\ge2abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b^2-2a^2bc+c^2a^2\right)+\left(a^2b^2-2ab^2c+b^2c^2\right)+\left(b^2c^2-2abc^2+a^2c^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-ca\right)^2+\left(ab-bc\right)^2+\left(bc-ca\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã cho đúng
b.
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\ge3abc\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\) (đúng theo câu a đã chứng minh)
TN
19 tháng 5 2016
Bất đẳng thức tương đương với
\(\frac{a^2}{b+c}+a+\frac{b^2}{c+a}+b+\frac{c^2}{a+b}+c\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}}+a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\frac{a\left(a+b+c\right)}{b+c}+\frac{b\left(a+b+c\right)}{c+a}+\frac{c\left(a+b+c\right)}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}}+a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{a+b+c}{2\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}}+1\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(\left[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right]\left[a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)\right]\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)
Ta chứng minh \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{a+b+c}{2\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}}+1\left(2\right)\)
Đặt \(t=\frac{a+b+c}{\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}}>0\),từ BĐT \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
Ta được \(t^2\ge0\Rightarrow t>1\).BĐT (2) viết lại thành
\(\frac{3t^2}{2}\ge\frac{t}{2}+1\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(3t+2\right)\ge0\) luôn đúng
=>(2) được chứng minh
Từ (1) và (2) => điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
24 tháng 9 2022
Bài 2:
\(A=\left(2ac-a^2-c^2+b^2\right)\left(2ac+a^2+c^2-b^2\right)\)
\(=\left[b^2-\left(a-c\right)^2\right]\left[\left(a+c\right)^2-b^2\right]\)
\(=\left(b-a+c\right)\left(b+a-c\right)\left(a+c-b\right)\left(a+c+b\right)\)>0
K
0
NT
1
30 tháng 9 2020
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=kb\\b=kc\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=k^2c\\b=kc\end{cases}}\)
Xét VT ta có :
a( b2 + c2 ) = k2c[ ( kc )2 + c2 ] = k2c( k2c2 + c2 ) = k4c3 + k2c3 (1)
Xét VP ta có :
c( a2 + b2 ) = c[ ( k2c )2 + ( kc )2 ] = c( k4c2 + k2c2 ) = k4c3 + k2c3 (2)
Từ (1) và (2) => đpcm
IL
2
27 tháng 6 2018
\(x^2=a^2+b^2+ab\)
\(\Leftrightarrow x^4=a^4+b^4+3a^2b^2+2a^3b+2ab^3\)
\(\Leftrightarrow2x^4=2a^4+2b^4+6a^2b^2+4a^3b+4ab^3\)
\(\Leftrightarrow2x^4=a^4+b^4+\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2+\left(2ab\right)^2+2a^2b^2+4a^3b+4ab^3\)
\(\Leftrightarrow2x^4=a^4+b^4+\left(a^2+2ab+b^2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2x^4=a^4+b^4+\left[\left(a+b\right)^2\right]^2\)
\(\Leftrightarrow2x^4=a^4+b^4+\left(a+b\right)^4\)
\(\Leftrightarrow2x^4=a^4+b^4+c^4\)(đpcm)
B
10 tháng 9 2020
Bài làm :
Ta có :
\(x^2=a^2+b^2+ab\)
\(\Leftrightarrow x^4=a^4+b^4+3a^2b^2+2a^3b+2ab^3\)
\(\Leftrightarrow2x^4=2a^4+2b^4+6a^2b^2+4a^3b+4ab^3\)
\(\Leftrightarrow2x^4=a^4+b^4+\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2+\left(2ab\right)^2+2a^2b^2+4a^3b+4ab^3\)
\(\Leftrightarrow2x^4=a^4+b^4+\left(a^2+2ab+b^2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2x^4=a^4+b^4+\left[\left(a+b\right)^2\right]^2\)
\(\Leftrightarrow2x^4=a^4+b^4+\left(a+b\right)^4\)
\(\Leftrightarrow2x^4=a^4+b^4+c^4\)
=> Điều phải chứng minh