tìm GTNN của:
E=\(\sqrt{x^2+x+1}\)+\(\sqrt{x^2-x+1}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 9 2023
Bài 1:
$\sqrt{x-4}-2$
ĐKXĐ: $x\geq 4$
Ta thấy $\sqrt{x-4}\geq 0$ với mọi $x\geq 4$
$\Rightarrow \sqrt{x-4}-2\geq 0-2=-2$
Vậy gtnn của biểu thức là $-2$. Giá trị này đạt được tại $x-4=0$
$\Leftrightarrow x=4$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 9 2023
Bài 2: $x-\sqrt{x}$
ĐKXĐ: $x\geq 0$
$x-\sqrt{x}=(x-\sqrt{x}+\frac{1}{4})-\frac{1}{4}=(\sqrt{x}-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}$
$\geq 0-\frac{1}{4}=\frac{-1}{4}$
Vậy gtnn của biểu thức là $\frac{-1}{4}$. Giá trị này đạt được khi $\sqrt{x}-\frac{1}{2}=0$
$\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$
A
2
11 tháng 6 2021
\(A=\)\(\sqrt{x+2\left(1+\sqrt{x+1}\right)}+\sqrt{x+2\left(1-\sqrt{x+1}\right)}\) (đk: \(x\ge-1\))
\(=\sqrt{\left(x+1\right)+2\sqrt{x+1}+1}+\sqrt{\left(x+1\right)-2\sqrt{x+1}+1}\)
\(=\sqrt{\left(\sqrt{x+1}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x+1}-1\right)^2}\)
\(=\sqrt{x+1}+1+\left|\sqrt{x+1}-1\right|\)
\(=\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}+1+\sqrt{x+1}-1;\sqrt{x+1}\ge1\\\sqrt{x+1}+1-\left(\sqrt{x+1}-1\right);\sqrt{x+1}< 1\end{matrix}\right.\)
\(=\left[{}\begin{matrix}2\sqrt{x+1};x\ge0\\2;-1\le x< 0\end{matrix}\right.\)
Có \(2\sqrt{x+1}\ge2\) tại \(x\ge0\)
\(\Rightarrow\min\limits_{x\ge0}A=2\)
Dấu = xảy ra <=> x=0 mà tại \(-1\le x< 0\) thì A=2
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 2 tại x=0 hoặc \(-1\le x< 0\)
(Ủa đề zì kì)
11 tháng 6 2021
\(ĐKXĐ:x\ge-1\)
Đặt \(A=\sqrt{x+2\left(1+\sqrt{x+1}\right)}+\sqrt{x+2\left(1-\sqrt{x+1}\right)}\)
\(=\sqrt{x+1+2\sqrt{x+1}+1}+\sqrt{x+1-2\sqrt{x+1}+1}\)
\(=\sqrt{\left(\sqrt{x+1}+1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x+1}-1\right)^2}\)
\(=\left|\sqrt{x+1}+1\right|+\left|\sqrt{x+1}-1\right|\)
\(=\left|\sqrt{x+1}+1\right|+\left|1-\sqrt{x+1}\right|\)
\(\ge\left|\sqrt{x+1}+1+1-\sqrt{x+1}\right|=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(\sqrt{x+1}+1\right)\left(1-\sqrt{x+1}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow1-\sqrt{x+1}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x+1}\le1\)
\(\Leftrightarrow x\le0\). Mà \(x\ge-1\) Nên \(-1\le x\le0\)
Vậy Min \(A=2\) khi \(-1\le x\le0\)
26 tháng 7 2023
1:
a: \(A=\dfrac{\sqrt{x}+1-2}{\sqrt{x}+1}=1-\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}\)
căn x+1>=1
=>2/căn x+1<=2
=>-2/căn x+1>=-2
=>A>=-2+1=-1
Dấu = xảy ra khi x=0
b: 
TN
1
2 tháng 8 2023
Ta có : \(\sqrt{x+1}\) có nghĩa khi `x >= -1` Từ đk ta có :
\(x+2\left(1+\sqrt{x+1}\right)=x+1+2\sqrt{x+1}+1=\left(\sqrt{x+1}+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x+2\left(1+\sqrt{x+1}\right)}=\sqrt{x+1}+1\)
\(x+2\left(1-\sqrt{x+1}\right)=x+1-2\sqrt{x+1}+1=\left(\sqrt{x+1}-1\right)^2\\ \Leftrightarrow\sqrt{x+2\left(1-\sqrt{x+1}\right)}=\left|\sqrt{x+1}-1\right|\)
Ta có : \(y=\sqrt{x+1}+1+\left|\sqrt{x+1}-1\right|\) `(1)`
Ta bỏ dấu \(\left|\right|\) ở `1`
Ta có TH :
`-1<= x <= 0` ; lúc này \(\sqrt{x+1}-1\le0\)
nên : \(\left|\sqrt{x+1}-4\right|=1-\sqrt{x+1}\)
`1` trở thành : `y=2`
`x>0` lúc này \(\sqrt{x+1}-1>0\) nên
\(\left|\sqrt{x+1}-1\right|=\sqrt{x+1}-1\)
`1` trở thành : \(y=2\sqrt{x+1}>2\left(x>0\right)\)
Vì : \(y=\left\{{}\begin{matrix}2khi-1\le x\le0\\2\sqrt{x+1}kh\text{i}>0\end{matrix}\right.\)
gtnn của `y=2` với mọi \(x\in\left[-1;0\right]\)
31 tháng 10 2021
1: ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\notin\left\{4;9\right\}\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(A=\dfrac{2\sqrt{x}-9-x+9+2x-4\sqrt{x}+\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\)
31 tháng 10 2021
\(1,A=\dfrac{2\sqrt{x}-9-x+9+2x-3\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\\ A=\dfrac{x-\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\\ A=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\left(x\ge0;x\ne4;x\ne9\right)\\ 2,A< 1\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}< 0\\ \Leftrightarrow\dfrac{4}{\sqrt{x}-3}< 0\Leftrightarrow\sqrt{x}-3< 0\Leftrightarrow0\le x< 9\)
30 tháng 6 2021
*Rút gọn
Ta có: \(C=\dfrac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\dfrac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}-1}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}+\dfrac{2\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}-1}\)
\(=x-\sqrt{x}-2\sqrt{x}-1+2\sqrt{x}+2\)
\(=x-\sqrt{x}+1\)
Ta có: \(C=x-\sqrt{x}+1\)
\(=x-2\cdot\sqrt{x}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\)
\(=\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\forall x\) thỏa mãn ĐKXĐ
Dấu '=' xảy ra khi \(\sqrt{x}=\dfrac{1}{2}\)
hay \(x=\dfrac{1}{4}\)
30 tháng 6 2021
\(C=\dfrac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\dfrac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}-1}\left(x>0;x\ne1\right)\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}+\dfrac{2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}-1}\)
\(=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)-2\sqrt{x}-1+2\sqrt{x}+2\)
\(=x-\sqrt{x}+1\)
\(=\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{4}\)
Vậy \(C_{min}=\dfrac{3}{4}\)
\(N=\dfrac{2\sqrt{x}}{C}=\dfrac{2\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}=\dfrac{2}{\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}-1}\)
Áp dụng AM-GM có: \(\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\ge2\)
Dấu "=" xảy ra khi x=1 (ktm đk)
Suy ra dấu bằng ko xảy ra \(\Rightarrow\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}-1>2-1=1\)
\(\Rightarrow\dfrac{2}{\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}-1}< 2\)
\(\Rightarrow N< 2\) mà \(N>0\),\(N\) nguyên
\(\Rightarrow N=1\Leftrightarrow\dfrac{2\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}=1\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\\\sqrt{x}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{7+3\sqrt{5}}{2}\\x=\dfrac{7-3\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\) (tm)
Vậy...
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 3 2022
ĐKXĐ: \(x\ge0;x\ne1\)
\(M=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{2\sqrt{x}-2}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right):\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right)\)
\(=\left(\dfrac{x-1-2\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-1\right)}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}+1-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right)\)
\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(\sqrt{x}-1\right)}:\dfrac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}.\left(\sqrt{x}+1\right)=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\)
b.
\(M=\dfrac{\sqrt{x}+1-2}{\sqrt{x}+1}=1-\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}\ge1-\dfrac{2}{0+1}=-1\)
\(M_{min}=-1\) khi \(x=0\)
24 tháng 8 2021
a: Ta có: \(P=\left(\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\dfrac{3x+3}{x-9}\right):\left(\dfrac{2\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-3}-1\right)\)
\(=\dfrac{2x-6\sqrt{x}+x+3\sqrt{x}-3x-3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}-3}{2\sqrt{x}-2-\sqrt{x}+3}\)
\(=\dfrac{-3\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+3}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\)
\(=\dfrac{-3}{\sqrt{x}+3}\)
S
29 tháng 12 2020
\(ĐKXĐ:\left\{{}\begin{matrix}x>0\\x\ne1\end{matrix}\right.\)
\(P\left(x\right)=\dfrac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\dfrac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}-1}\)
\(P\left(x\right)=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{\left(x+\sqrt{x}+1\right)}-\dfrac{\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}+\dfrac{2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}-1}\)
\(P\left(x\right)=x-\sqrt{x}-2\sqrt{x}-2+2\sqrt{x}+2\)
\(P\left(x\right)=x-\sqrt{x}\)
Ta có : \(\dfrac{P\left(x\right)}{2020\sqrt{x}}=\dfrac{x-\sqrt{x}}{2020\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{2020\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x}-1}{2020}\)
Để \(\dfrac{P\left(x\right)}{2020\sqrt{x}}min\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}-1}{2020}min\Leftrightarrow\sqrt{x}-1\) min (vì 2020 > 0)
Lại có : \(\sqrt{x}-1\ge-1\forall x\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = 0
Vậy Min\(\dfrac{P\left(x\right)}{2020\sqrt{x}}=\dfrac{-1}{2020}\Leftrightarrow x=0\)
có (x^2+x+1)(x^2+1-x)=(x^2+1)^2-x^2=x^4+2x^2+1-x^2=x^4+x^2+1
dễ thấy 2 căn thức trong E đều > 0 nên áp dụng bdt AM-GM ta đc
E >/ 2 x căn bậc 4 (x^2+x+1)(x^2+1-x^2) >/ 2 x căn bậc 4 (x^4+x^2+1) >/ 2 (do x^4+x^2+1 >/ 0 )
minE=2 ,đạt tại x=0
minh chiu