Cho x>o , y>0 và x+y=1. Tìm GTNN của
A= (x + \(\frac{1}{y}\))2 + (y + \(\frac{1}{x}\))2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TT
28 tháng 2 2020
1) Tìm GTNN :
Ta có : \(\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{x^2}{xy+x}+\frac{y^2}{xy+y}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy+\left(x+y\right)}\ge\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+1}=\frac{1}{\frac{1}{2}+1}=\frac{2}{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
2) Áp dụng BĐT Svacxo ta có :
\(\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3+a+b+c}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
28 tháng 2 2020
2/ Áp dụng bđt Cô- si cho 2 số dương ta có :
\(\frac{a^2}{1+b}+\frac{1+b}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{1+b}\frac{1+b}{4}}=a\)
Tương tự ta có \(\frac{b^2}{1+c}+\frac{1+c}{4}\ge b;\frac{c^2}{1+a}+\frac{1+a}{4}\ge c\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge a+b+c-\left(\frac{1+b}{4}+\frac{1+c}{4}+\frac{1+a}{4}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge3-\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{4}=3-\frac{1}{4}.3-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
NQ
5
8 tháng 5 2019
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si vào 2 số dương \(x^2,\frac{1}{x^2}\)ta có:
\(x^2+\frac{1}{x^2}\ge2\sqrt{x^2.\frac{1}{x^2}}=2\)\(\left(1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si vào hai số dương \(y^2,\frac{1}{y^2}\)ta có :
\(y^2+\frac{1}{y^2}\ge2\sqrt{y^2.\frac{1}{y^2}}=2\)\(\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge4\)
\(\Rightarrow\)\(A_{min}=4\Leftrightarrow x=y=1\)
6 tháng 11 2017
a,\(A\ge\frac{9}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\ge\frac{9}{\sqrt{3\left(x+y+z\right)}}=3\)=3
MInA=3<=>x=y=z=1
6 tháng 11 2017
b)dùng cô si đi(đề thi chuyên bình phước năm 2016-2017)
NV
2
30 tháng 5 2020
A = \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(=\frac{\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\left[\left(x+y\right)+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\right]^2\)
\(\ge\frac{1}{2}\left[\left(x+y\right)+\frac{4}{x+y}\right]^2=\frac{1}{2}\left(1+4\right)^2=\frac{25}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y =1/2
Vậy GTNN của A = 25/2 tại x = y = 1/2
TT
1 tháng 6 2020
Ta có :
\(A=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(=x^2+\frac{1}{x^2}+2+y^2+\frac{1}{y^2}+2\)
\(=4+\left(x^2+y^2\right)+\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\)
\(\ge4+\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+2\sqrt{\frac{1}{\left(xy\right)^2}}\)
\(=4+\frac{1}{2}+\frac{2}{xy}\ge4+\frac{1}{2}+\frac{2}{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}=4+\frac{1}{2}+8=\frac{25}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy \(A_{min}=\frac{25}{2}\) tại \(x=y=\frac{1}{2}\)
5 tháng 8 2016
1. \(1=x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow xy\le\frac{1}{2}\)
\(A=-2+\frac{2}{1+xy}\ge-2+\frac{2}{1+\frac{1}{2}}=-\frac{2}{3}\)
max A = -2/3 khi x=y=\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
5 tháng 8 2016
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{1}{x}.\frac{4}{y+z}=\frac{4}{\left(4-t\right)t}=\frac{4}{4-\left(t-2\right)^2}\ge1\) với t = y+z => x =4 -t
NT
2
NN
28 tháng 4 2017
Ta có:
\(P=\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}=\frac{\left(a+b\right)^2}{1}=\left(a+b\right)^2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\\x+y=1\end{cases}}\Leftrightarrow...\) (tự tìm nha! Mình đang bận)
Vậy...
MH
7 tháng 4 2018
tại sao
\(\frac{a^2}{x^2}\)+\(\frac{b^2}{y^2}\)\(\ge\)\(\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)
Theo đề bài ta có
\(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\Leftrightarrow xy\le\frac{1}{4}\)
\(A=\left(x+\frac{1}{y}\right)^2+\left(y+\frac{1}{x}\right)^2\)
\(=x^2+y^2+\frac{2y}{x}+\frac{2x}{y}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\)
\(=\left(x^2+\frac{1}{16x^2}\right)+\left(y^2+\frac{1}{16y^2}\right)+2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{15}{16}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\)
\(\ge\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+4+\frac{15}{16}.\frac{2}{xy}\)
\(\ge5+\frac{15}{16}.\frac{2}{\frac{1}{4}}=\frac{25}{2}\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)