C/m căn(a^2 + b^2) + căn(b^2 + c^2) + căn(c^2 + a^2`) >= căn 2 * (a+b+c) với mọi a, b, c
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 10 2021
Với mọi a;b ta luôn có:
\(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+2ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2+b^2}\ge\sqrt{\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left|a+b\right|\ge\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(a+b\right)\)
Tương tự:
\(\sqrt{b^2+c^2}\ge\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(b+c\right)\) ; \(\sqrt{c^2+a^2}\ge\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(c+a\right)\)
Cộng vế:
\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\ge\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\ge0\)
29 tháng 4 2019
Áp dụng bđt \(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2+b^2}\ge\frac{a+b}{\sqrt{2}}\)
C/m tương tự \(\sqrt{b^2+c^2}\ge\frac{b+c}{\sqrt{2}}\)
\(\sqrt{a^2+c^2}\ge\frac{a+c}{\sqrt{2}}\)
Cộng 3 vế của 3 bđt trên lại được
\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)
Dấu "=" tại a = b = c = 1/3
HL
0
PA
1
9 tháng 11 2017
Xét \(\sqrt{a^2-ab+b^2}\) = \(\sqrt{\left(a^2+2ab+b^2\right)-3ab}\) = \(\sqrt{\left(a+b\right)^2-3ab}\)
>= \(\sqrt{\left(a+b\right)^2-\frac{3}{4}\left(a+b\right)^2}\)( bđt ab <= (a+b)^2/4) = 1/2 (a+b)
Tương tự căn (b^2-bc+c^2) >= 1/2(b+c) ; (c^2-ca+a^2) >= 1/2 (c+a)
=> B >= 1/2 . (a+b+b+c+c+a) = 1/2 . 2 . (a+b+c) = 1 => ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1/3
KN
13 tháng 12 2019
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(\left(1^2+4^2\right)\left(a^2+\frac{1}{b^2}\right)\ge\left(1.a+4.\frac{1}{b}\right)^2\)\(\Rightarrow a^2+\frac{1}{b^2}\ge\frac{1}{17}\left(a+\frac{4}{b}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{17}}\left(a+\frac{4}{b}\right)\)
Tương tự, ta có: \(\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{17}}\left(b+\frac{4}{c}\right)\)
và \(\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{17}}\left(c+\frac{4}{a}\right)\)
Cộng từng vế của các BĐT trên, ta được:
\(P\ge\frac{1}{\sqrt{17}}\left(a+b+c+\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}\right)\)\(\ge\frac{1}{\sqrt{17}}\left(a+b+c+\frac{36}{a+b+c}\right)\)(svac - xơ)
\(=\frac{1}{\sqrt{17}}\left[\left(a+b+c\right)+\frac{9}{4\left(a+b+c\right)}+\frac{135}{4\left(a+b+c\right)}\right]\ge\frac{3\sqrt{17}}{2}\)
Vậy \(P=\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}}\)\(+\sqrt{b^2+\frac{1}{c^2}}\)\(+\sqrt{c^2+\frac{1}{a^2}}\ge\frac{3\sqrt{17}}{2}\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c=2\))
14 tháng 12 2019
Bài em làm ok rồi nhưng mà dấu bằng xảy ra bị sai. Em kiểm tra lại!๖²⁴ʱČøøℓ ɮøү 2к⁷༉
áp dụng nè \(\sqrt{a^2+b^2}\ge\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}=\frac{a+b}{\sqrt{2}}\)
bđt đó dễ CM nha,,,,dùng hằng đẳng thức 1 là CM đc