Cho a,b,c >0 và abc=1 chứng minh \(\frac{a}{b}\)+\(\frac{b}{c}\)+\(\ge\)a+b+c
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
EN
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 11 2019
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\)
Ta cần chứng minh \(\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{9}{abc+2}\Leftrightarrow abc+2\ge3\sqrt[3]{abc}\)
BĐT trên luôn đúng theo AM-GM vì: \(abc+2=abc+1+1\ge3\sqrt[3]{abc}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
25 tháng 1 2020
1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)
\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)
20 tháng 3 2020
BĐT phụ:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(true\right)\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{a+b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) ( đpcm )
Vậy.......
24 tháng 12 2019
a) \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+2ab+b^2}{4}-ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng \(\forall a,b\) )
=>đpcm
25 tháng 12 2019
Cô si
\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a}\cdot\frac{ca}{b}}=2c\)
\(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{ca}{b}\cdot\frac{ab}{c}}=2a\)
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}\cdot\frac{bc}{a}}=2b\)
Cộng lại ta có:
\(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\Rightarrowđpcm\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 10 2019
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\Rightarrow xyz=1\)
\(P=\frac{x^3yz}{y+z}+\frac{xy^3z}{x+z}+\frac{xyz^3}{x+y}=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)
Sửa đề: Cho \(a,b,c>0\) và \(abc=1\). Chứng minh \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge a+b+c\)
Cách 1: Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{a^2c+b^2a+c^2b}{abc}\ge\frac{\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{a+b+c}}{abc}\ge a+b+c\)
Cách 2: Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{2a}{b}+\frac{b}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}\ge3a\)
Tương tự ta cũng có \(\frac{2b}{c}+\frac{c}{a}\ge3b;\frac{2c}{a}+\frac{a}{b}\ge3c\)
Cộng theo vế và rút gọn ta có ĐPCM
Cách 3: Đặt \(x=\sqrt[9]{\frac{ab^4}{c^2}};y=\sqrt[9]{\frac{ca^4}{b^2}};z=\sqrt[9]{\frac{bc^4}{a^2}}\)
\(\Rightarrow a=xy^2;b=xz^2;c=yz^2\forall xyz\le1\)
Áp dụng BĐT Rearrangement ta có:
\(Σ\frac{a}{b}=Σ\frac{x^2}{yz}\ge xyzΣ\frac{x^2}{yz}=Σx^3\geΣxy^2=Σa\)