\(\frac{b}{\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}}< \frac{c}{\sqrt{a+c}-\sqrt{a-c}}\) \(a>b>c>0\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
23 tháng 2 2020
Ta có
\(\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}< \sqrt{a+c}+\sqrt{a-c}\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}}{2}< \frac{\sqrt{a+c}+\sqrt{a-c}}{2}\)
\(\Rightarrowđpcm\)(liên hợp)
TN
3 tháng 2 2017
Theo BĐT AM-GM ta có: \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)
Tương tự ta cũng có BĐT tương tự, cộng theo vế ta có:
\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge2\left(I\right)\)
Mà \(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\left(1\right)\) .Vì \(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left(a+b\right)>a\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)>a\left(a+b\right)+ac\)
\(\Leftrightarrow c\left(a+b\right)>ac\Leftrightarrow a+b>a\) (luôn đúng)
Tương tự ta có: \(\frac{a+b}{a+b+c}>\frac{b}{b+c}\left(2\right);\frac{c+a}{a+b+c}>\frac{c}{a+c}\left(3\right)\)
Ta có: \(\left(1\right)+\left(2\right)+\left(3\right)\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+a}+\frac{c}{a+c}< 2\left(II\right)\)
Từ (I) và (II) ta thu được điều phải chứng minh
cần chứng minh \(\frac{b}{\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}}< \frac{c}{\sqrt{a+c}-\sqrt{a-c}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{b\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}\right)}{a+b-a+b}< \frac{c\left(\sqrt{a+c}+\sqrt{a-c}\right)}{a+c-a+c}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}< \sqrt{a+c}+\sqrt{a-c}\)
\(\Leftrightarrow2a+2\sqrt{a^2-b^2}< 2a+2\sqrt{a^2-c^2}\)
\(\Leftrightarrow a^2-b^2< a^2-c^2\Leftrightarrow b^2>c^2\)(luôn đúng vì a>b>c)
Dùng liên hợp cũng ra bn nhé