Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 2xy – 6x – 8y +...
Đọc tiếp
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + 2y2 + 2xy – 6x – 8y + 2028
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
T
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 4 2021
\(B=\left(x^2+y^2+4+2xy-4x-4y\right)+\left(x^2+z^2+1+2xz-2x-2z\right)+\left(y^2-4y+4\right)+4\)
\(B=\left(x+y-2\right)^2+\left(x+z-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+4\ge4\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y-2=0\\x+z-1=0\\y-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=2\\z=1\end{matrix}\right.\)
24 tháng 5 2018
Khởi động nhẹ nhàng thôi:v
\(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{3}{4}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-a-b-c\ge\dfrac{3}{4}-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{3}{4}\)
\(\Rightarrow\left(a^2-a+\dfrac{1}{4}\right)+\left(b^2-b+\dfrac{1}{4}\right)+\left(c^2-c+\dfrac{1}{4}\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(b-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(c-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\) (đúng)
\("="\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{2}\)
24 tháng 5 2018
a) C1. Áp dụng BĐT : ( x - y)2 ≥ 0 ∀xy
Ta có : a2 + b2 ≥ 2ab ( 1)
b2 + c2 ≥ 2bc ( 2)
c2 + a2 ≥ 2ac ( 3)
Từ ( 1 ; 2 ; 3) ⇒ 2( a2 + b2 + c2) ≥ 2( ab + ab + ac)
⇔ 3( a2 + b2 + c2) ≥ ( a + b + c)2
⇔ a2 + b2 + c2 ≥ \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{9}{4}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a = b = c = \(\dfrac{1}{2}\)
C2. Áp dụng BĐT Bunhiacopxki , ta có :
( a2 + b2 + c2)( 12 + 12 + 12) ≥ ( a + b + c)2
⇔ a2 + b2 + c2 ≥ \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{9}{4}.\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a = b = c = \(\dfrac{1}{2}\)
CM
29 tháng 7 2019
A = x 2 + 2 y 2 – 2 x y + 2 x – 10 y ⇔ A = x 2 + y 2 + 1 – 2 x y + 2 x – 2 y + y 2 – 8 y + 16 – 17 ⇔ A = ( x 2 + y 2 + 12 – 2 . x . y + 2 . x . 1 – 2 . y . 1 ) + ( y 2 – 2 . 4 . y + 4 2 ) – 17 ⇔ A = ( x – y + 1 ) 2 + ( y – 4 ) 2 – 17
Vì với mọi x; y nên A ≥ -17 với mọi x; y
=> A = -17
⇔ x − y + 1 = 0 y − 4 = 0 ⇔ x = y − 1 y = 4 ⇔ x = 3 y = 4
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là A = -17 tại x = 3 y = 4
Đáp án cần chọn là: B
CM
20 tháng 3 2019
A = x 2 + 2 y 2 – 2 x y + 2 x – 10 y ⇔ A = x 2 + y 2 + 1 – 2 x y + 2 x – 2 y + y 2 – 8 y + 16 – 17 ⇔ A = ( x 2 + y 2 + 1 2 – 2 . x . y + 2 . x . 1 – 2 . y . 1 ) + ( y 2 – 2 . 4 . y + 4 2 ) – 17 ⇔ A = ( x – y + 1 ) 2 + ( y – 4 ) 2 – 17
Vì x - y + 1 2 ≥ 0 y - 4 2 ≥ 0 với mọi x, y nên A ≥ -17 với mọi x, y
=> A = -17 ó x - y + 1 = 0 y - 4 = 0 ó x = y - 1 y = 4 ó x = 3 y = 4
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là A = -17 tại x = 3 y = 4
Đáp án cần chọn là: C
N
1
13 tháng 1 2022
\(A=\left[\left(x^2-2xy+y^2\right)+2\left(x-y\right)+1\right]+\left(y^2-8y+16\right)-17\\ A=\left(x-y+1\right)^2+\left(y-4\right)^2-17\ge-17\)
Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y+1=0\\y-4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y-1=3\\y=4\end{matrix}\right.\)
LB
1
T
29 tháng 10 2023
\(A=x^2-2xy+2y^2-4y+5\\=(x^2-2xy+y^2)+(y^2-4y+4)+1\\=(x-y)^2+(y-2)^2+1\)
Ta thấy: \(\left(x-y\right)^2\ge0\forall x;y\)
\(\left(y-2\right)^2\ge0\forall y\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-2\right)^2\ge0\forall x;y\)
\(\Rightarrow A=\left(x-y\right)^2+\left(y-2\right)^2+1\ge1\forall x;y\)
Dấu \("="\) xảy ra khi: \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\y-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\y=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=y=2\)
Vậy \(Min_A=1\) khi \(x=y=2\).
$Toru$
PT
1
CM
9 tháng 2 2017
Q = x 2 + 2 y 2 + 2 x y − 2 x − 6 y + 2015 = x 2 + 2 x y + y 2 − 2 x − 2 y + 1 + y 2 − 4 y + 4 + 2010 = x 2 + 2 x y + y 2 − 2 x + 2 y + 1 + y 2 − 4 y + 4 + 2010 = x + y 2 − 2 x + y + 1 + y 2 − 4 y + 4 + 2010 = x + y − 1 2 + y − 2 2 + 2010
LV
3
23 tháng 5 2019
P = x2 + 2y2 + 2xy – 6x – 8y + 2028
P = (x2 + y2 + 2xy) – 6(x + y) + 9 + y2 – 2y + 1 + 2018
P = (x + y – 3)2 + (y – 1)2 + 2018 \(\ge\) 2018
=> Giá trị nhỏ nhất của P = 2018 khi x = 2; y = 1
23 tháng 5 2019
P=x2+2y2+2xy-6x-8y+2028
=x2+2xy+y2+y2-8y+x2-6x-x2+2028
=(x2+2xy+y2)+(y2-8y+16)+(x2-6x+9)-x2+2028-16-9
=(x-y)2+(y-4)2+(x-3)2-x2+2003\(\ge2003\)
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)^2\ge0\\\left(y-4\right)^2\ge0\\\left(x-3\right)^2\ge0\\x^2\ge0\end{matrix}\right.\) nên:
Để P=2003 thì :
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)^2=0\\\left(x-3\right)^2=0\\\left(y-4\right)^2=0\\x^2=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\x-3=0\\y-4=0\\x=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\x=3\\y=4\\x=0\end{matrix}\right.\)
Vậy min P=2003\(\Leftrightarrow\left(x=y\right)\in\left\{0;4;3\right\}\)
DG
1
DG
13 tháng 8 2016
Ta có : C = (x2 - 2xy + y2) + ( y2 – 4y+4)+1 = (x –y)2 + (y -2)2 + 1 Vì (x – y)2 ≥ 0 ; (y-2)2 ≥ 0 Do vậy: C ≥ 1 với mọi x;y Dấu “ = ” Xảy ra khi x-y = 0 và y-2 =0 ⇔ x=y =2Vậy: Min C = 1 khi x = y =2
Lời giải:
$P=(x^2+y^2+2xy)+y^2-6x-8y+2028$
$=(x+y)^2-6(x+y)+(y^2-2y)+2028$
$=(x+y)^2-6(x+y)+9+(y^2-2y+1)+2018$
$=(x+y-3)^2+(y-1)^2+2018\geq 0+0+2018=2018$
Vậy $P_{\min}=2018$
Giá trị này đạt tại $x+y-3=y-1=0$
$\Leftrightarrow y=1; x=2$