Cho a, b ϵ R a, b > 0 , a + b = 2
Tính GTNN của Q = \(\dfrac{3}{a^2+b^2}\) + \(\dfrac{5}{ab}\) - 8
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CR
3
9 tháng 4 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow1\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow\dfrac{1}{2}\ge\sqrt{ab}\Rightarrow\dfrac{1}{4}\ge ab\)
Lại có theo AM-GM ta có:
\(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab\)\(\Rightarrow\dfrac{3}{a^2+b^2}\ge\dfrac{3}{2ab}\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{3}{2ab}+\dfrac{2}{ab}\ge\dfrac{3}{2\cdot\dfrac{1}{4}}+\dfrac{2}{\dfrac{1}{4}}=14\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\sqrt{ab}\\a+b=1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\a+b=1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
Vậy \(A_{Min}=14\) khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 8 2017
Lời giải:
Tìm max:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(A^2=(2x+\sqrt{5-x^2})^2\leq (x^2+5-x^2)(2^2+1)=25\)
\(\Rightarrow A\leq 5\)
Vậy \(A_{\max}=5\Leftrightarrow x=2\)
Tìm min:
ĐKXĐ: \(5-x^2\geq 0\Leftrightarrow -\sqrt{5}\leq x\leq \sqrt{5}\)
Do đó : \(A=2x+\sqrt{5-x^2}\geq 2x\geq -2\sqrt{5}\)
Vậy \(A_{\min}=-2\sqrt{5}\Leftrightarrow x=-\sqrt{5}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 8 2017
Bài 2 bạn xem xem có viết nhầm đề bài không nhé.
\(A=\frac{3a}{2a-b}+\frac{3c}{2c-b}-2\)
Chỉ cần cho $b$ càng nhỏ thì giá trị của $A$ càng nhỏ rồi, mà lại không có điều kiện gì của $b$ ?
6 tháng 1 2018
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\(VT=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{ab+bc+ac}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\)
\(=\dfrac{9}{ab+bc+ac}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\)
\(=\dfrac{1}{ab+bc+ac}+\dfrac{1}{ab+bc+ac}+\dfrac{7}{ab+bc+ac}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{ab+bc+ac+ab+bc+ac+a^2+b^2+c^2}+\dfrac{7}{ab+bc+ac}\)
\(=\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\dfrac{7}{ab+bc+ac}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số dương:
\(ab+bc+ac\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{1^2}{3}=\dfrac{1}{3}\)
Ta có: \(\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\dfrac{7}{ab+bc+ac}\ge\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\dfrac{7}{\dfrac{1}{3}}=9+21=30\)
6 tháng 1 2018
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có
BT\(\ge\)\(\frac{\left(1+1+1\right)^2}{ab+bc+ac}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}=\frac{9}{ab+bc+ac}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\)
\(=\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{7}{ab+bc+ac}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}+\frac{7}{ab+bc+ac}\)\(=1+\frac{7}{ab+bc+ac}\)
Ta lại có ab+bc+ac =< (a+b+c)^2/3 =3
\(\Rightarrow BT\ge1+\frac{7}{3}=\frac{10}{3}\)
Vậy GTNN là \(\frac{10}{3}\)khi a=b=c=1
ND
1
Vậy Min P = 2
30 tháng 8 2022
a: \(=\dfrac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}\left(a-\sqrt{a}+1\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)\left(a-\sqrt{a}+1\right)}{1}\)
\(=a-1\)
b: \(=\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}+\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{ab}}\cdot\left(\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}+\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\right)\)
\(=\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}+\dfrac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{2\sqrt{ab}}\cdot\dfrac{\sqrt{ab}+b+\sqrt{ab}-b}{\sqrt{a}\left(a-b\right)}\)
\(=\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}+\dfrac{1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{a}}\)
c: \(=\dfrac{a\sqrt{b}+b}{a-b}\cdot\sqrt{\dfrac{ab+b^2-2b\sqrt{ab}}{a^2+2a\sqrt{b}+b}}\cdot\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)
\(=\dfrac{\sqrt{b}\left(a+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\cdot\sqrt{\dfrac{b\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\left(a+\sqrt{b}\right)^2}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{b}\left(a+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\cdot\dfrac{\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{a+\sqrt{b}}=b\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 9 2017
Bài 1:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(M^2=(a\sqrt{9b(a+8b)}+b\sqrt{9a(b+8a)})^2\)
\(\leq (a^2+b^2)(9ab+72b^2+9ab+72a^2)\)
\(\Leftrightarrow M^2\leq (a^2+b^2)(72a^2+72b^2+18ab)\)
Áp dụng BĐT AM-GM: \(a^2+b^2\geq 2ab\Rightarrow 18ab\leq 9(a^2+b^2)\)
Do đó, \(M^2\leq (a^2+b^2)(72a^2+72b^2+9a^2+9b^2)=81(a^2+b^2)^2\)
\(\Leftrightarrow M\leq 9(a^2+b^2)\leq 144\)
Vậy \(M_{\max}=144\Leftrightarrow a=b=\sqrt{8}\)
Bài 6:
\(a+\frac{1}{a-1}=1+(a-1)+\frac{1}{a-1}\)
Vì \(a>1\rightarrow a-1>0\). Do đó áp dụng BĐT Am-Gm cho số dương\(a-1,\frac{1}{a-1}\) ta có:
\((a-1)+\frac{1}{a-1}\geq 2\sqrt{\frac{a-1}{a-1}}=2\)
\(\Rightarrow a+\frac{1}{a-1}=1+(a-1)+\frac{1}{a-1}\geq 3\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a-1=1\Leftrightarrow a=2\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 9 2017
Bài 3:
Xét \(\sqrt{a^2+1}\). Vì \(ab+bc+ac=1\) nên:
\(a^2+1=a^2+ab+bc+ac=(a+b)(a+c)\)
\(\Rightarrow \sqrt{a^2+1}=\sqrt{(a+b)(a+c)}\)
Áp dụng BĐT AM-GM có: \(\sqrt{(a+b)(a+c)}\leq \frac{a+b+a+c}{2}=\frac{2a+b+c}{2}\)
hay \(\sqrt{a^2+1}\leq \frac{2a+b+c}{2}\)
Hoàn toàn tương tự với các biểu thức còn lại và cộng theo vế:
\(\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}\leq \frac{2a+b+c}{2}+\frac{2b+a+c}{2}+\frac{2c+a+b}{2}=2(a+b+c)\)
Ta có đpcm. Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Bài 4:
Ta có:
\(A=\frac{8a^2+b}{4a}+b^2=2a+\frac{b}{4a}+b^2\)
\(\Leftrightarrow A+\frac{1}{4}=2a+\frac{b+a}{4a}+b^2=2a+b+\frac{b+a}{4a}+b^2-b\)
Vì \(a+b\geq 1, a>0\) nên \(A+\frac{1}{4}\geq a+1+\frac{1}{4a}+b^2-b\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(a+\frac{1}{4a}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
\(\Rightarrow A+\frac{1}{4}\geq 2+b^2-b=\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\geq \frac{7}{4}\)
\(\Leftrightarrow A\geq \frac{3}{2}\).
Vậy \(A_{\min}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)