Cho hai điểm A và B cố định trên đường tròn (O).C là điểm chính giữa cung AB , M là điểm chuyển động trên dây AB. Tia CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D.CMR:
AC^2=CM+CD
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM thuộc một đường thẳng cố định
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
20 tháng 7 2019
a) Bổ đề: Xét tam giác ABC cân tại A, một điểm M bất kì sao cho ^AMB = ^AMC. Khi đó MB = MC.
Bổ đề chứng minh rất đơn giản, không trình bày ở đây.
Áp dụng vào bài toán: Vì E là điểm chính giữa (BC nên EB = EC = ED => \(\Delta\)BED cân tại E
Ta có ^BAE = ^CAE (2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) hay ^BAE = ^DAE
Áp dụng bổ đề vào \(\Delta\)BED ta được AB = AD. Khi đó AE là trung trực của BD => AE vuông góc BD
Lại có \(\Delta\)BAD ~ \(\Delta\)CFD (g.g). Mà AB = AD nên FD =FC. Từ đó EF vuông góc DC
Xét \(\Delta\)AEF có FD vuông góc AE (cmt), AD vuông góc EF (cmt) => D là trực tâm \(\Delta\)AEF (đpcm).
b) Gọi DN cắt EC tại I. Ta dễ thấy ^MDI = ^MDN = ^MBN = ^MBC = ^MEC = ^MEI
Suy ra bốn điểm D,E,M,I cùng thuộc một đường tròn => ^EMD = ^EID = 900
Nếu ta gọi MD cắt cung lớn BC của (O) tại S thì ^EMS chắn nửa (O) hay ES là đường kính của (O)
Mà E là điểm chính giữa cung nhỏ BC nên S là điểm chính giữa cung lớn BC
Do đó S là điểm cố định (Vì B,C cố định). Vậy MD luôn đi qua S cố định (đpcm).
13 tháng 10 2019
Gọi (OMD) cắt (O) tại S khác D. Ta có OD = OS, suy ra (OD và (OS của đường tròn (OMD) bằng nhau
Hay ^OMD = ^OMS. Lại có ^MCO = 1800 - ^OCD = 1800 - ^ODC = ^MSO. Do đó ^MOC = ^MOS
Suy ra \(\Delta\)MCO = \(\Delta\)MSO (g.c.g). Vậy S đối xứng với C qua AB, mà C và AB đều cố định nên S cố định
Khi đó (OMD) luôn đi qua 2 điểm cố định là S và O (đpcm).
VT
13 tháng 10 2019
gọi K là điểm đối xứng với C qua AB; C cố định nên K cũng cố định
ta sẽ chứng minh K thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác OMD hay tứ giác OMDK là tứ giác nội tiếp đường tròn
K đối xứng với C qua AB => gócKOD= gócDOC = 2 gócCBA = gócCBK
mà tứ giác BCMN nội tiếp nên gócCBK= góc CMK=gócDMK
vậy góc KOD= gócDMK => tứ giác DOMK nội tiếp đường tròn hay đường tròn ngoại tiếp tam giác OMD luôn đi qua O và K là 2 điểm cố định
7 tháng 1 2019
tg là tam giác nha !
a )
Ta có : gócABM = 90o ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB )
Ta có : gócABM + gócAPM = 180o ( 2 góc kề bù )
=> gócAPM = 180o - gócABM = 180o - 90o = 90o
Xét tứ giác ACPM , có :
gócACP = 90o ( gt )
gócAPM = 90o ( cmt )
gócACP + gócAPM = 90o + 90o =180o
Do đó : tứ giác ACPM nội tiếp được đường tròn ( có tổng số đo 2 góc đối diện bằng 180o )
=> A , C , P , M cùng thuộc 1 đường tròn .
a. Cô sửa thành AM2 = CM.CD
Xét tam giác ACM và DCA có: \(\widehat{C}\) chung, \(\widehat{CAM}=\widehat{CDA}\) (Chắn hai cung CB và CA bằng nhau)
Vậy thì \(\Delta ACM\sim\Delta DCA\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AC}{CD}=\frac{CM}{CA}\Rightarrow CA^2=CD.CM\)
b. C là điểm chính giữa cung AB nên OC vuông góc AB tại trung điểm N. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM. AI cắt (O) tại J.
Do câu a: \(\Delta ACM\sim\Delta DCA\left(g-g\right)\Rightarrow\widehat{CAD}=\widehat{CMA}\)
Lại có \(\widehat{JAD}=\widehat{JCD}\) nên \(\widehat{JAD}+\widehat{DAC}=\widehat{JCD}+\widehat{CMA}=90^o\Rightarrow\widehat{CAJ}=90^o\)
Vậy CJ là đường kính (O) hay J cố định, từ đó suy ra Ạ cố định. Lại có tâm I luôn thuộc AJ nên ta đã chứng minh được tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM thuộc một đường thẳng cố định.
em thấy không ổn lắm ạ vì \(\widehat{JCD}\ne\widehat{OCD}\)