Question

[Trương Trần Duy Tân]

Với a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác chứng minh rằng :

\(a^4+b^4+c^4+abc\left(a+b+c\right)\ge2\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)\)

Answer 1

[Lầy Văn Lội]

BĐT cần chứng minh tương đương \(a^4+b^4+c^4\ge2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)-abc\left(a+b+c\right)\)

mà \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\)(BĐT cauchy)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)(cần chứng minh)

ÁP dụng bất đẳng thức bunyakovsky:

\(3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)

mà \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)(hệ quả BĐT cauchy)

\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)(đpcm)

dấu = xảy ra khi a=b=c

Answer 2

[Trương Trần Duy Tân]

Trái dấu bất đẳng thức rồi kìa