cho a + b + c =3
chứng minh \(\frac{x^2}{x+y^2}+\frac{y^2}{y+z^2}+\frac{z^2}{z+x^2}\ge\frac{3}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
GL
1
18 tháng 4 2019
\(\frac{x^3}{x^2+y^2}=\frac{x^3+xy^2-xy^2}{x^2+y^2}=x-\frac{xy^2}{x^2+y^2}\ge x-\frac{xy^2}{2xy}=x-\frac{y}{2}\)
Tương tự, ta có : \(\frac{y^3}{y^2+z^2}\ge y-\frac{z}{2}\)\(;\)\(\frac{z^3}{z^2+x^2}\ge z-\frac{x}{2}\)
Cộng vế theo vế 3 bđt trên ta được :
\(\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+x^2}\ge\left(x+y+z\right)-\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\right)=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\) ( đpcm )
OM
25 tháng 5 2017
1.
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho 2 số dương ta có:
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2b\)
tương tự, ta có:
\(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ac}{b}}=2c\)
\(\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{ac}{b}}=2a\)
Cộng theo vế của 3 BĐT trên, ta được:
\(2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c\) (ĐPCM)
ý b nghĩ đã ~.~
OM
25 tháng 5 2017
2.
P = \(\frac{x^2}{2-x}+\frac{y^2}{2-y}+\frac{z^2}{2-z}\)
Sau đó áp dụng bất đẳng thức AM - GM như trên nhé bạn!
16 tháng 5 2020
\(\Sigma\frac{x^3}{y^2}=\Sigma\frac{x}{y^2}\left(x-y\right)^2+\frac{\Sigma z\left(x^3-yz^2\right)^2}{xyz\left(x+y+z\right)}+\Sigma\frac{x^2}{y}\ge\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\)
KB
27 tháng 4 2019
Theo GT : \(xy+yz+xz=3xyz\Rightarrow\frac{xy+yz+xz}{xyz}=3\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\)
\(\frac{x^3}{x^2+z}=\frac{x\left(x^2+z\right)}{x^2+z}-\frac{xz}{x^2+z}=x-\frac{xz}{x^2+z}\ge x-\frac{xz}{2x\sqrt{z}}=x-\frac{\sqrt{z}}{2}\)
Tương tự , ta có : \(\frac{y^3}{y^2+x}\ge y-\frac{\sqrt{x}}{2}\) ; \(\frac{z^3}{z^2+y}\ge z-\frac{\sqrt{y}}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{x^2+z}+\frac{y^3}{y^2+z}+\frac{z^3}{z^2+y}\ge x+y+z-\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{2}\)
Vì x ; y ; z dương , áp dụng BĐT Cô - si , ta có :
\(x+1\ge2\sqrt{x};y+1\ge2\sqrt{y};z+1\ge2\sqrt{z}\)
\(\Rightarrow x+y+z+3\ge2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
=> \(\frac{x+y+z+3}{2}\ge\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\) => BĐT được c/m
Tiếp tục AD BĐT Cô - si , ta có :
\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}=9\)
\(\Rightarrow x+y+z\ge\frac{9}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}=\frac{9}{3}=3\) => BĐT được c/m
Có : \(\frac{x^3}{x^2+z}+\frac{y^3}{y^2+x}+\frac{z^3}{z^2+y}\ge x+y+z-\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{2}\ge x+y+z-\frac{x+y+z+3}{4}=\frac{3x+3y+3z-3}{2}\ge\frac{3.3-3}{4}=\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy ...
AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 1 2020
Vì đã khuya nên não cũng không còn hoạt động tốt nữa, mình làm bài 1 thôi nhé.
Bài 1:
a)
\(2\text{VT}=\sum \frac{2bc}{a^2+2bc}=\sum (1-\frac{a^2}{a^2+2bc})=3-\sum \frac{a^2}{a^2+2bc}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\sum \frac{a^2}{a^2+2bc}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ab}=\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1\)
Do đó: \(2\text{VT}\leq 3-1\Rightarrow \text{VT}\leq 1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
b)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\text{VT}=\sum \frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}=\sum \frac{ab^2}{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}+\frac{a^2+b^2+c^2}{3}+\frac{a^2+b^2+c^2}{3}+b^2}\leq \sum \frac{1}{16}\left(\frac{9ab^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{ab^2}{b^2}\right)\)
\(=\frac{1}{16}.\frac{9(ab^2+bc^2+ca^2)}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a+b+c}{16}(1)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(3(ab^2+bc^2+ca^2)\leq (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{16}.\frac{9(ab^2+bc^2+ca^2)}{a^2+b^2+c^2)}\leq \frac{3}{16}(a+b+c)(2)\)
Từ $(1);(2)\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{a+b+c}{4}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 1 2020
Lý giải xíu chỗ $3(ab^2+bc^2+ca^2)\leq (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)$ cho bạn nào chưa rõ:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)=(a^3+ac^2)+(b^3+a^2b)+(c^3+b^2c)+(ab^2+bc^2+ca^2)$
$\geq 2a^2c+2ab^2+2bc^2+(ab^2+bc^2+ca^2)=3(ab^2+bc^2+ca^2)$
KM
Cho x,y,z >0 và x+y+z=3.Chứng minh \(\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{3}{2}\)
2
S
1 tháng 6 2019
đặt A=\(\frac{1}{x\left(x+1\right)}\) +\(\frac{1}{y\left(y+1\right)}\) +\(\frac{1}{z\left(z+1\right)}\)=\(\frac{1}{x}\)-\(\frac{1}{x+1}\)+\(\frac{1}{y}\)-\(\frac{1}{y+1}\)+\(\frac{1}{z}\)-\(\frac{1}{z+1}\)
Áp dụng BĐT phụ \(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)≥\(\frac{4}{a+b}\) (bạn tự chứng minh nha,quy đồng ,nhân chéo ,chuyển về )⇒\(\frac{1}{a+b}\) ≤\(\frac{1}{4}\)(\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\))
⇒A≥\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\)-\(\frac{1}{4}\)(\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\)+3)
⇒A≥\(\frac{3}{4}\) (\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\))-\(\frac{3}{4}\)≥\(\frac{3}{4}\) (\(\frac{9}{x+y+z}\))-\(\frac{3}{4}\)
⇒a≥\(\frac{9}{4}\)-\(\frac{3}{4}\)=\(\frac{3}{2}\) dpcm