Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
\(E=\frac{x^2+xy+y^2}{x^2-xy+y^2}\) với \(x\ne0;y\ne0\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 5 2016
Gọi T là tập giá trị của A. Điều kiện để \(m\in T\) là hệ phương trình sau có nghiệm \(\left(x,y\right)\) với \(x\ne0;y\ne0\)
\(\begin{cases}xy\left(x+y\right)=x^2-xy+y^2\\\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}=m\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}xy\left(x+y\right)=x^2-xy+y^2\\\frac{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{x^3y^3}=m\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}xy\left(x+y\right)=x^2-xy+y^2\\\frac{xy\left(x+y\right)}{x^3y^3}=m\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}xy\left(x+y\right)=x^2-xy+y^2\\\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2y^2}=m\end{cases}\) (1)
Đặt \(S=x+y\)
\(P=xy;\left(S^2\ge4P\right)\) . Hệ (1) trở thành \(\begin{cases}SP=S^2-3P\\\frac{S^2}{P^2}=m\end{cases}\) (2)
Hệ (1) có nghiệm \(\left(x,y\right)\) với \(x\ne0;y\ne0\) khi và chỉ khi hệ (2) có nghiệm (S,P) thỏa mãn \(S^2\ge4P;P\ne0\) do
\(S^2-3P=x^2-xy+y^2=\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}>0\) với mọi \(x\ne0;y\ne0\) nên SP > 0 \(\Rightarrow\frac{S}{P}>0\)
Như thế :
* Nếu \(m\le0\) thì hệ (2) vô nghiệm
* Nếu m > 0 thì
\(\left(2\right)\Leftrightarrow\begin{cases}SP=S^2-3P\\S=\sqrt{m}P\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}\sqrt{m}P^2=mP^2-3P\\S=\sqrt{m}P\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(m-\sqrt{m}\right)P^2-3P=0\\S=\sqrt{m}P\end{cases}\) do \(P\ne0\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(m-\sqrt{m}\right)P=3\\S=\sqrt{m}P\end{cases}\) (3)
Hệ (3) có nghiệm khi và chỉ khi \(m-\sqrt{m}\ne0\Leftrightarrow m\ne1\), lúc này từ (3) ta có :
\(P=\frac{3}{m-\sqrt{m}}\Rightarrow S=\frac{3}{\sqrt{m}-1}\)
Hệ (2) có nghiệm (S;P) thỏa mãn \(S^2\ge4;P\ne0\) khi và chỉ khi:
\(0< m\ne1\) và \(\frac{9}{\left(\sqrt{m}-1\right)^2}\ge\frac{12}{\sqrt{m}\left(\sqrt{m}-1\right)}\)
\(\Leftrightarrow0< m\ne1\) và \(3\sqrt{m}\ge4\left(\sqrt{m}-1\right)\)
\(\Leftrightarrow0< m\ne1\) và \(\sqrt{m}\le4\Leftrightarrow m\in\) (0;16] \ \(\left\{1\right\}\)
Tập giá trị của A là (0;16] \ \(\left\{1\right\}\) suy ra max A = 16 ( không tồn tại min A)
BT
0
BC
1
16 tháng 12 2020
Ta có: \(x^2-2y^2=xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-xy-2y^2=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+xy-2y^2=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x-2y\right)+y\left(x-2y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2y\right)\left(x+y\right)=0\)
Vì \(x+y\ne0\) nên x-2y=0
hay x=2y
Thay x=2y vào biểu thức \(A=\dfrac{x-y}{x+y}\), ta được:
\(A=\dfrac{2y-y}{2y+y}=\dfrac{y}{3y}=\dfrac{1}{3}\)
Vậy: \(A=\dfrac{1}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 8 2020
\(\left(x+y\right)xy=x^2+y^2-xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)xy=\left(x+y\right)^2-3xy\)
Đặt \(x+y=t\Rightarrow xy=\frac{t^2}{t+3}\)
Lại có \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow t^2\ge\frac{4t^2}{t+3}\)
\(\Leftrightarrow t^2\left(\frac{t-1}{t+3}\right)\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t\ge1\\t< -3\end{matrix}\right.\)
\(A=\frac{x^3+y^3}{\left(xy\right)^3}=\frac{\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)}{\left(xy\right)^3}=\frac{\left(x+y\right)\left(x+y\right)xy}{\left(xy\right)^3}=\left(\frac{x+y}{xy}\right)^2\)
\(A=\left(\frac{t\left(t+3\right)}{t^2}\right)^2=\left(\frac{t+3}{t}\right)^2=\left(1+\frac{3}{t}\right)^2\)
\(\Rightarrow y'=-\frac{6\left(t+3\right)}{t^3}< 0\) \(\forall t\ge1;t< -3\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(1+\frac{3}{t}\right)^2=1\Rightarrow A_{max}=A\left(1\right)=16\)
\(\Rightarrow M=16\) khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
HT
0
Ta có: \(E=1+\frac{2xy}{x^2-xy+y^2}\le1+\frac{2xy}{2xy-xy}=3\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y
Vậy GTLN của E là 3 tại x = y.