Cho x, y >0 thoả mãn x+y>=1. Chứng minh: x^4+y^4>=8
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HV
4
TN
5 tháng 11 2016
Ta chứng minh \(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left[\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}\right]\ge0\)(luôn đúng)
Áp dụng vào bài toán ta có:
\(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)\(\Rightarrow2\left(x^4+y^4\right)\ge x^4+y^4+x^3y+xy^3\)\(=\left(x^3+y^3\right)\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}\).Tương tự ta cũng có:
\(\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}\ge\frac{y+z}{2};\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\ge\frac{z+x}{2}\)
Cộng theo vế ta có: \(VT\ge\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=x+y+z=1\)
Dấu = khi \(x=y=z=\frac{2008}{3}\)
TT
1
27 tháng 10 2019
\(x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3\left(xy\right)\left(x+y\right)=1-3xy\)
Có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)với mọi x, y
Chứng minh: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy\ge4xy\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)đúng với mọi x, y.
=> \(xy\le\frac{1}{4}\)=> \(-3xy\ge-\frac{3}{4}\)
=> \(x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3\left(xy\right)\left(x+y\right)=1-3xy\ge1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\)
"=" xảy ra <=> (x -y)^2 =0 <=> x =y.
HN
0
TT
3
2 tháng 3 2018
\(\left\{{}\begin{matrix}x;y>0\\x+y=1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow0< xy=t\le\dfrac{1}{4}\)
\(x^4+y^4=\left(1-2t\right)^2-2t\)
\(8\left(x^4+y^4\right)+\dfrac{1}{xy}\ge5\Leftrightarrow A=8\left[\left(1-2t\right)^2-2t\right]+\dfrac{1}{t}-5\ge0\)
\(\Leftrightarrow16t^2-32t+\dfrac{1}{t}+3\ge0\)\(\Leftrightarrow16t^3-32t^2+3t+1\ge0\)
<=>\(16t^3-4t^2-28t^2+7t-4t+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow4t^2\left(4t-1\right)-7t\left(4t-1\right)-\left(4t-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(4t-1\right)\left(4t^2-7t-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow B=\left(4t-1\right)\left(8t-7-\sqrt{65}\right)\left(8t-7+\sqrt{65}\right)\ge0\)
\(0< t\le\dfrac{1}{4}\Rightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}4t-1\le0\\8t-7+\sqrt{65}>0\\8t-7-\sqrt{5}< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\ge0\)
mọi phép biến đổi <=> => dpcm
UK
3 tháng 3 2018
Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz nhiều lần, cộng với BĐT phụ \(\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}\), ta có:
\(8\left(x^4+y^4\right)+\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{8\left(x^2+y^2\right)^2}{2}+\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}=4\left(x^2+y^2\right)^2+4\ge4\left[\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\right]^2+4=5\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
3 tháng 7 2017
Bài 2:
a) Áp dụng BĐT AM - GM ta có:
\(\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)=\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4b}\) \(\ge2\sqrt{\dfrac{1}{4^2ab}}=\dfrac{2}{4\sqrt{ab}}=\dfrac{1}{2\sqrt{ab}}\)
\(\ge\dfrac{1}{a+b}\) (Đpcm)
b) Trừ 1 vào từng vế của BĐT ta được BĐT tương đương:
\(\left(\frac{x}{2x+y+z}-1\right)+\left(\frac{y}{x+2y+z}-1\right)+\left(\frac{z}{x+y+2z}-1\right)\le\frac{-9}{4}\)
\(\Leftrightarrow-\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\le-\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge\frac{9}{4}\)
Áp dụng BĐT phụ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\) ta có:
\(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\)
\(\ge\dfrac{9}{2x+y+z+x+2y+z+x+y+2z}=\dfrac{9}{4\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{2x+y+z}+\dfrac{y}{x+2y+z}+\dfrac{z}{x+y+2z}\le\dfrac{3}{4}\) (Đpcm)
3 tháng 7 2017
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(VT\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a-1+b-1}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\)
Nên cần chứng minh \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\ge8\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge8\left(a+b-2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge8a+8b-16\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-4\right)^2\ge0\) luôn đúng
DT
2
12 tháng 6 2017
x+1/y = 1, ta có:
+ x=1-1/y (1)
+ (xy+1)/y=1 => xy+1=y (2)
y+1/x >=4
<=> (xy+1)/x >=4
(1), (2) => y/ (y-1) /y >=4
<=> y^2/ (y-1) >=4
<=> y^2 >= 4y -4
<=> y^2 -4y +4 >=0
<=> (y-2)^2 >=0 (đúng)
12 tháng 6 2017
Bạn áp dụng bất đẳng thức sau để giải :
1/x + 1/y >= 4/(x+y) (cái này thì dẽ chứng mình thôi, dùng cô si cho 2 số đó, tiếp tục dùng cô si dưới mẫu là ra) (*)
Áp dụng kết quả đó ta có
1/ (2x +y+z) = 1/(x+ y+z+x) <= 1/4 *[ 1/(x+y) + 1/(y+z)]
rồ tiếp tục áp dụng kết quả (*) ta lại có
1/4 *[1/(x+y) + 1/(y+z)] <= 1/16 *( 1/x + 1/y + 1/z + 1/x)
Tương tự ta có 1/(2y + x +z) <= 1/16 *(1/x+1/y +1/z + 1/y)
Cái cuối cùng cũng tương tự như vậy
Cộng lại ba bdt trên ta sẽ có được điều cần chứng minh
theo đề bài ta có (x+y)^2>=1
2(x^2+y^2)>=(x+y)^2>=1
x^2+y^2>=1/2
(x^2+y^2)^2>=1/4
2(x^4+y^4)>=(x^2+y^2)^2>=1/4
x^4+y^4>=1/8(đề bạn ghi thiếu thì phải)