Question

[hieu]

cho tam giac abc cân a, m là trung điểm của bc mc vuông góc với ab, mf vuông góc với ac chứng minh me=mf và am là trung trực của ef

Answer 1

[『Kuroba ム Tsuki Ryoo ︵²ᵏ⁷』]

Mình xin phép sửa đề:

Cho tam giac ABC cân tại A, M là trung điểm của BC, ME vuông góc với AB, MF vuông góc với AC. Chứng minh ME = MF và AM là đường trung trực của EF.

\(\text {(1)}\)

Xét Tam giác `ABM` và Tam giác `ACM` có:

`AB = AC (\text {Tam giác ABC cân tại A})`

\(\widehat {B}= \widehat {C}(\text {Tam giác ABC cân tại A})\)

`MB = MC (\text {M là trung điểm của BC})`

`=> \text {Tam giác ABM = Tam giác ACM (c-g-c)}`

`->`\(\widehat {BAM}=\widehat {CAM} (\text {2 góc tương ứng})\)

Xét Tam giác `AEM` và Tam giác `AFM` có:

`\text {AM chung}`

\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM} (CMT)\)

\(\widehat{AEM}=\widehat{AFM} (=90^0)\)

`=> \text {Tam giác AEM = Tam giác AFM (ch-gn)}`

`-> ME = MF (2 cạnh tương ứng)`

\(\left(2\right)\) 

Gọi `I` là giao điểm của `AM` và `EF`

C1:

Vì Tam giác `AEM =` Tam giác `AFM (\text {Theo CMT})`

`-> AE = AF (\text {2 cạnh tương ứng})`

Xét Tam giác `AEI` và Tam giác `AFI` có:

`AE = AF (CMT)`

\(\widehat{EAI}=\widehat{FAI} (\text {Theo CMT})\)

`\text {AI chung}`

`=> \text {Tam giác AEI = Tam giác AFI (c-g-c)}`

`-> IE = IF (\text {2 cạnh tương ứng})`

`->`\(\widehat{AIE}=\widehat{AIF} (\text {2 góc tương ứng})\)

Mà `2` góc này nằm ở vị trí kề bù

`->`\(\widehat{AIE}+\widehat{AIF}=180^0\)

`->`\(\widehat{AIE}=\widehat{AIF}=\)`180/2=90^0`

`-> \text {AI} \bot \text {EF}`

\(\text{Ta có: }\left\{{}\begin{matrix}\text{IE = IF }\\\text{AI}\perp\text{EF}\end{matrix}\right.\)

`-> \text {AI là đường trung trực của EF}`

`-> \text {AM là đường trung trực của EF}`

C2 (nếu bạn đã học về tính chất của tam giác cân với các đường Trung Tuyến, Đường Cao, Đường Trung Trực) :

Ta có: 

AM vừa là đường phân giác, vừa là đường trung tuyến

`*` Theo tính chất của tam giác cân

`-> \text {AM là đường trung trực của EF (đpcm)}`

`@`\(\text{dnammv}\)