1/3<...<...<...<1/2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KN
1
26 tháng 6 2019
Đặt \(A=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{99}}\)
\(\Rightarrow3A=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{98}}\)
\(3A-A=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{98}}\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{99}}\right)\)
\(2A=1-\frac{1}{3^{99}}\)
\(\Rightarrow A=\frac{1-\frac{1}{3^{99}}}{2}< \frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
27 tháng 6 2019
A= \(\left(1-\frac{1}{1+2}\right)\)\(\left(1-\frac{1}{1+2+3}\right)\) \(\left(1-\frac{1}{1+2+3+4}\right)\) .....\(\left(1-\frac{1}{1+2+3+...+2005+2006}\right)\)
A = \(\left(1-\frac{1}{3}\right)\) \(\left(1-\frac{1}{6}\right)\) \(\left(1-\frac{1}{10}\right)\) .... \(\left(1-\frac{1}{2013021}\right)\)
= \(\frac{2}{3}\) . \(\frac{5}{6}\) . \(\frac{9}{10}\) .....\(\frac{2013020}{2013021}\)
= \(\frac{4}{6}\).\(\frac{10}{12}\).\(\frac{18}{20}\)....\(\frac{4026040}{4026042}\)
= \(\frac{1.4}{2.3}\).\(\frac{2.5}{3.4}\).\(\frac{3.6}{4.5}\).\(\frac{2005.2008}{2006.2007}\)
= \(\frac{1.2.3.4...2005}{2.3.4.5...2006}\).\(\frac{4.5.6...2008}{3.4.5...2007}\)
= \(\frac{1}{2006}.\frac{2008}{3}=\frac{1004}{3009}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
9 tháng 7 2020
Lời giải:
Biểu thức $P$ không đối xứng. Có lẽ đề bài đúng là:
\(P=\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+3c^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{c^2-ab+3a^2+1}}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$a^2-ab+3b^2+1=(a^2+b^2)-ab+(b^2+1)+b^2\geq ab+2b+b^2$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}\leq \frac{1}{\sqrt{ab+2b+b^2}}$
Mà cũng theo BĐT AM-GM kết hợp BĐT Cauchy_Schwarz:
\(\frac{1}{\sqrt{ab+2b+b^2}}=\frac{1}{\sqrt{b(a+b+2)}}\leq \frac{1}{4b}+\frac{1}{a+b+2}\leq \frac{1}{4b}+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}\right)\)
\(=\frac{1}{16}.\frac{1}{a}+\frac{5}{16}.\frac{1}{b}+\frac{1}{8}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế thu được:
$P\leq \frac{3}{8}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{3}{8}\leq \frac{3}{8}.3+\frac{3}{8}=\frac{3}{2}$
Vậy $P_{\max}=\frac{3}{2}$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 2 2017
Bài 1
Đặt \(A=a^3+b^3+c^3-3(a-1)(b-1)(c-1)\)
Biến đổi:
\(A=a^3+b^3+c^3-3[abc-(ab+bc+ac)+a+b+c-1]=a^3+b^3+c^3-3abc+3(ab+bc+ac)-6\)
\(A=(a+b+c)^3-3[(a+b)(b+c)(c+a)+abc]-6+3(ab+bc+ac)\)
\(A=21-3(a+b+c)(ab+bc+ac)+3(ab+bc+ac)=21-6(ab+bc+ac)\)
Áp dụng BĐT Am-Gm:
\(3(ab+bc+ac)\leq (a+b+c)^2=9\Rightarrow ab+bc+ac\leq 3\)
\(\Rightarrow A\geq 21-6.3=3\). Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
Vì \(0\leq a,b,c\leq2\Rightarrow (a-2)(b-2)(c-2)\leq 0\)
\(\Leftrightarrow abc-2(ab+bc+ac)+4\leq 0\Leftrightarrow 2(ab+bc+ac)\geq 4+abc\geq 0\Rightarrow ab+bc+ac\geq 2\)
\(\Rightarrow A\leq 21-6.2=9\). Dấu bằng xảy ra khi $(a,b,c)=(0,1,2)$ và các hoán vị.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 2 2017
Bài 2a)
Ta có
\(A=a^2+b^2+c^2=(a+1)^2+(b+1)^2+(c+1)^2-3-2(a+b+c)\)
\(\Leftrightarrow A=(a+b+c+3)^2-2[(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)]-3\)
\(\Leftrightarrow A=6-2[(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)]\)
Vì \(-1\leq a,b,c\leq 2\Rightarrow a+1,b+1,c+1\geq 0\)
\(\Rightarrow (a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)\geq 0\Rightarrow A\leq 6\)
Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(-1,-1,2)\) và các hoán vị của nó
Ta có:
\(\dfrac{1}{3}=\dfrac{100}{300}\)
\(\dfrac{1}{2}=\dfrac{150}{300}\)
Do đó \(\dfrac{1}{3}< \dfrac{101}{300}< \dfrac{103}{300}< \dfrac{107}{300}< \dfrac{1}{2}\)
1/3 = 8/14
1/2 = 12/24
=> 1/3 < 9/24 < 10/24 < 11/24 < 12/24
=> 1/3 < 3/8 < 5/12 < 11/24 < 1/2