`(1/2^2 -1 ) *(1/3^3 - 1 ) *..... *( 1/100^2 -1 )`
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DK
0
LQ
1
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
4 tháng 3 2023
A = \(\dfrac{100-(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+....+\dfrac{1}{100})}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{99}{100}}\)
Xét các mẫu số của dãy phân số : \(\dfrac{1}{1};\dfrac{1}{2};....;\dfrac{1}{100}\)
ta có dãy số: 1; 2; ....;100
Dãy số trên có số số hạng là: ( 100 - 1) : 1 + 1 = 100 (số)
Tách 100 thành tổng của 100 số 1 rồi nhóm lần lượt 1 với từng phân số thuộc dãy phân số trên khi đó ta có:
A = \(\dfrac{100-(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{100})}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}+.....+\dfrac{99}{100}}\)
A = \(\dfrac{(1-1)+(1-\dfrac{1}{2})+(1-\dfrac{1}{3})+....+(1-\dfrac{1}{100})}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}+.....+\dfrac{99}{100}}\)
A = \(\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}+...+\dfrac{99}{100}}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}+....+\dfrac{99}{100}}\)
A = 1
NT
5
NT
0
VP
0
Lời giải:
$(\frac{1}{2^2}-1)(\frac{1}{3^2}-1)...(\frac{1}{100^2}-1)$
$=\frac{(1-2^2)(1-3^2)...(1-100^2)}{2^2.3^2....100^2}$
$=\frac{-(2^2-1)(3^2-1)...(100^2-1)}{2^2.3^2...100^2}$
$=\frac{-[(2-1)(3-1)...(100-1)][(2+1)(3+1)...(100+1)]}{(2.3...100)(2.3..100)}$
$=\frac{-(1.2.3....99)(3.4....101)}{(2.3...100)(2.3...100)}$
$=-\frac{1.2.3...99}{2.3...100}.\frac{3.4....101}{2.3...100}$
$=-\frac{1}{100}.\frac{101}{2}=\frac{-101}{200}$