cho a b c là các số dương thỏa mãn a^2+b^2+c^2=27 tìm GTLN của P= ab+bc+ca
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PN
1
DT
27 tháng 4 2019
\(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right).\)(áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\le3.64\Rightarrow\left(a+b+c\right)\le8\sqrt{3}\)
Lại có \(\left(ab+bc+ac\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)(bất đẳng thức bunhiacopxki)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ac\le a^2+b^2+c^2=64\)
Khi đó \(P=ab+bc+ca+a+b+c\le64+8\sqrt{3}\)
Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b=c\\a^2+b^2+c^2=64\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c=\frac{8\sqrt{3}}{3}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 1 2024
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(P=\frac{2a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ac}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+ab+bc+ac}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+ab+bc+ac}}\\ =\frac{2a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{c}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}\)
\(\leq \frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{4(b+c)}+\frac{b}{b+a}+\frac{c}{4(c+b)}+\frac{c}{c+a}\)
\(=(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+a})+(\frac{a}{a+c}+\frac{c}{a+c})+\frac{1}{4}(\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c})=1+1+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}\)
Vậy $P_{\max}=\frac{9}{4}$
27 tháng 3 2019
Ta có: \(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{c.1+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{c\left(a+b+c\right)+ab}}=\sqrt{\frac{ab}{c\left(b+c\right)+a\left(b+c\right)}}=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)
\(=\sqrt{\frac{a}{a+c}.\frac{b}{b+c}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\right)\)( bđt Cosi)
Tương tự như trên: \(\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right);\sqrt{\frac{ac}{b+ac}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{c}{b+c}\right)\)
=> \(P\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{a}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right)=\frac{3}{2}\)
"=" Xảy ra khi và chỉ khi:
\(\frac{a}{a+c}=\frac{b}{b+c}\Leftrightarrow a\left(b+c\right)=b\left(a+c\right)\Leftrightarrow a=b\)
\(\frac{a}{a+b}=\frac{c}{b+c}\Leftrightarrow a=c\)
\(\frac{c}{a+c}=\frac{b}{a+b}\Leftrightarrow b=c\)
\(a+b+c=1\)
Từ các điều trên ta có đc: \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Vậy GTLN của P=3/2 khi và chỉ khi a=b=c=1/3
1 tháng 7 2020
\(a^4+b^4+a^4+a^4\ge4\sqrt[4]{a^{12}b^4}=4a^3b\)
\(a^4+b^4+b^4+b^4\ge4\sqrt[4]{a^4b^{12}}=4ab^3\)
\(\Rightarrow4\left(a^4+b^4\right)\ge4\left(a^3b+ab^3\right)\Rightarrow a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
\(F=\Sigma\frac{ab}{a^4+b^4+ab}\le\Sigma\frac{ab}{a^3b+ab^3+ab}=\Sigma\frac{1}{a^2+b^2+1}=\Sigma\frac{2}{2a^2+2b^2+2}\)
\(\le\Sigma\frac{1}{ab+a+b}\)
Đến đây bí :(
KN
3 tháng 6 2020
Ta có: \(a^2-ab+3b^2+1=\left(a^2-2ab+b^2\right)+ab+\left(b^2+1\right)+b^2\)
\(=\left(a-b\right)^2+ab+\left(b^2+1\right)+b^2\ge ab+2b+b^2\)
\(=b\left(a+b+2\right)\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}\le\frac{1}{\sqrt{b\left(a+b+2\right)}}\)(1)
Tương tự: \(\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+3c^2+1}}\le\frac{1}{\sqrt{c\left(b+c+2\right)}}\)(2); \(\frac{1}{\sqrt{c^2-ca+3a^2+1}}\le\frac{1}{\sqrt{a\left(c+a+2\right)}}\)(3)
Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3) và sử dụng AM - GM kết hợp liên tục BĐT \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\), ta được:
\(P\le\frac{1}{\sqrt{b\left(a+b+2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{c\left(b+c+2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{a\left(c+a+2\right)}}\)
\(=\Sigma\frac{2}{\sqrt{4b\left(a+b+2\right)}}\)\(\le\Sigma\left(\frac{1}{4b}+\frac{1}{a+b+2}\right)\)(AM - GM)
\(=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\text{}\Sigma\left(\frac{1}{a+b+2}\right)\)
\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\text{}\Sigma\left[\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}\right)+\frac{1}{2}\right]\)
\(\le\frac{3}{4}+\text{}\left[\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\text{}\Sigma\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\right]\)
\(=\frac{3}{4}+\text{}\left[\frac{3}{8}+\text{}\frac{1}{8}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right]\le\frac{3}{4}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
KN
3 tháng 6 2020
Dòng thứ 10 sửa lại cho mình là \(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\Sigma\left[\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{2}\right)\right]\)
Do olm có lỗi là mỗi lần bấm dấu ngoặc là số nó tự động nhảy ra ngoài
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$a^2+b^2\geq 2\sqrt{a^2b^2}=2|ab|\geq 2ab$
$b^2+c^2\geq 2bc$
$c^2+a^2\geq 2ac$
Cộng theo vế các BĐT trên ta được:
$2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ac)$
$\Rightarrow ab+bc+ac\leq a^2+b^2+c^2=27$
Vậy GTLN của $P$ là $27$