Cho 97 số tự nhiên a1, a2, a3, ..., a97 thỏa mãn
\(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+...+\frac{1}{a_{97}}=\frac{31}{2}\)
Chứng minh rằng có ít nhất 2 số trong 97 số tự nhiên trên bằng nhau.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử a1, a2, ..., a2017 là 2017 số khác nhau.
Và0 < a1 < a2 ... < a2017
Vì là số nguyên dương nên ta có
\(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{2017}}\le\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2017}\)
\(< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}=1+\frac{2016}{2}=1009\)
Từ đây ta thấy rằng nếu như 2017 số đó là khác nhau thì tổng luôn < 1009 vậy nên để tổng đó bằng 1009 thì phải có ít nhất 2 trong 2017 số đó bằng nhau
có bạn nào làm được bài này theo nguyên lí Đi - rich - lê ko
chứng minh = phản chứng . giả sử trong 25 số tự nhiên ko có 2 số nào bằng nhau . ko mất tính tổng quát , giả sử\(a_11,a_22,..,a_{25}25\)
thế thì
\(\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{25}}}=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+..+\frac{1}{\sqrt{25}}\)
ta lại có \(\frac{1}{\sqrt{25}}+..+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{1}}=\frac{1}{\sqrt{25+\sqrt{25}}}+\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}+1\)
\(< \frac{2}{\sqrt{24+\sqrt{24}}}+.+\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}+1\)
\(=2\left(\sqrt{25}-\sqrt{24}+\sqrt{24}-\sqrt{23}+...+\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)+1=2\left(\sqrt{25}-\sqrt{1}\right)+1=9\left(2\right)\)
từ (1) zà 2 suy ra \(\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+..+\frac{1}{\sqrt{a_{25}}}< 9\)trái zới giả thiết , suy ra ko tồn tại 2 số nào = nhau trong 25 số
giả sử trong 36 số tự nhiên đã cho, không có hai số nào bằng nhau. Không mất tính tổng quát, giả sử :
\(a_1< a_2< ...< a_{36}\)
Suy ra : \(a_1\ge1;a_2\ge2;...;a_{36}\ge36\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{36}}}\le\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{36}}\)( 1 )
Ta có : \(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{36}}=1+\frac{2}{2\sqrt{2}}+\frac{2}{2\sqrt{3}}+...+\frac{2}{2\sqrt{36}}\)
\(< 1+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+...+\frac{2}{\sqrt{36}+\sqrt{35}}\)
\(=1+2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)+2\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)+...+2\left(\sqrt{36}-\sqrt{35}\right)\)
\(=2\left(\sqrt{36}-\sqrt{1}\right)+1=11\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\frac{1}{\sqrt{a_{36}}}< 11\)( trái với giả thiết )
\(\Rightarrow\)tồn tại 2 số bằng nhau trong 36 số tự nhiên đã cho
Vì \(a_1,a_2,....,a_{2015}\)là các số nguyên dương, để không mất tính tổng quát ta giả sử \(a_1\le a_2\le a_3\le.....\le a_{2015}\)Suy ra
\(a_1\ge1,a_2\ge2,.......,a_{2015}\ge2015\) Vậy ta có \(A=\frac{1}{\sqrt{a_1}}+\frac{1}{\sqrt{a_2}}+..........+\frac{1}{\sqrt{a_{2015}}}\le\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+.....+\frac{1}{\sqrt{2015}}=B\)
\(B=\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}+.....+\frac{2}{\sqrt{2015}+\sqrt{2015}}<1+\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+.....+\frac{2}{\sqrt{2015}+\sqrt{2014}}=C\)
Ta có trục căn thức ở mẫu của \(C\)Ta có: \(C=2\left(\sqrt{2015}-\sqrt{2014}+\sqrt{2014}-\sqrt{2013}+.....+\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)+1=2\left(\sqrt{2015}-\sqrt{1}\right)+1\)
Mà: \(C=2\left(\sqrt{2015}-\sqrt{1}\right)+1<89\)Trái với giả thiết Vậy tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau trong 2015 số nguyên dương đó