CMR: \(n^n-n^2+n-1\)chia hết cho \(\left(n-1\right)^2\) với \(n\in N,n>1\).
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
25 tháng 6 2019
a)
\(55^{n+1}-55^n\\ =55^n.55-55^n\\ =55^n\left(55-1\right)\\ =55^n.54⋮54\\ \RightarrowĐpcm\)
b)
\(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)\\ =\left(n+1\right)\left(n^2+2n\right)\\ =n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\\ \)
c)
\(2^{n+2}+2^{n+1}+2^n\\ =2^n.2^2+2^n.2+2^n\\ =2^n\left(4+2+1\right)\\ =2^n.7⋮7\)
8 tháng 10 2019
a) \(\left(n+3\right)^2-\left(n-1\right)^2\)
\(=\left(n+3+n-1\right)\left(n+3-n+1\right)\)
\(=\left(2n+2\right)4\)
\(=2\left(n+1\right).4\)
\(=8\left(n+1\right)⋮8\)
=> đpcm
LN
1
16 tháng 6 2019
Tham khảo bài làm :
Câu hỏi của êfe - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
17 tháng 11 2016
Ta có
\(n^n-n^2+n-1\)
= (n n - 1) + (- n2 + n)
= (n - 1)(n n-1 + n n-2 +...+ n + 1) - n(n - 1)
= (n - 1)(n n-1 + n n-2 +...+ n2 + 1)
= (n - 1)[(n n-1 - 1) + (n n-2 - 1) + ... + (n2 - 1) + n - 2 + 1]
= (n - 1)[(n n-1 - 1) + (n n-2 - 1) + ... + (n2 - 1) + n - 1]
= (n - 1)2 A(n) (biểu diễn vậy cho gọn nha)
Vậy \(n^n-n^2+n-1\)chia hết cho (n - 1)2
ML
30 tháng 6 2015
\(A=n^n+5n^2-11n+5=n^n-n+5\left(n-1\right)^2\)
\(\text{Do }5\left(n-1\right)^2\text{ chia hết cho }\left(n-1\right)^2\text{ nên ta cần chứng minh }n^n-n\text{ chia hết cho }\left(n-1\right)^2\)
\(\text{Hay }\left(n+1\right)^{n+1}-\left(n+1\right)\text{ chia hết cho }n^2\left(n\ge1\right)\)
\(B=\left(n+1\right)^{n+1}-\left(n+1\right)=\left(n+1\right).\left(n+1\right)^n-\left(n+1\right)=\left(n+1\right)\left[\left(n+1\right)^n-1\right]\)
\(=\left(n+1\right)\left(n+1-1\right)\left[\left(n+1\right)^{n-1}+\left(n+1\right)^{n-2}+...+\left(n+1\right)^1+1\right]\)
\(=\left(n+1\right).n.\left[\left(n+1\right)^{n-1}+\left(n+1\right)^{n-2}+...+\left(n+1\right)+1\right]\)
\(\text{Để chứng minh }B\text{ chia hết cho }n^2\text{ thì ta chứng minh }\left[\left(n+1\right)^{n-1}+...+1\right]\text{ chia hết cho }n\)
\(\left(n+1\right)^{n-1}+...+1=\left(n+1\right)^{n-1}+...+\left(n+1\right)^0\text{ có }n\text{ số hạng}\)
\(\text{Ta thấy: }\left(n+1\right)^k=a_k.n^k+a_{k-1}.n^{k-1}+...+a_1.n^1+1\text{ với mọi số tự nhiên }k\)
\(\Rightarrow\left(n+1\right)^k\text{ chia }\left(n-1\right)\text{ luôn dư 1.}\)
\(\Rightarrow\left(n+1\right)^{n-1};\left(n+1\right)^{n-2};....\left(n+1\right)^1;\left(n+1\right)^0\text{ (n số) chia n đều dư 1.}\)
\(\Rightarrow\left(n+1\right)^{n-1}+...+\left(n+1\right)+1\text{ chia hết cho }n\)
\(\Rightarrow B=\left(n+1\right)n\left[\left(n+1\right)^{n-1}+...+1\right]\text{ chia hết cho }n^2\)
\(\Rightarrow\left(n+1\right)^{n+1}-\left(n+1\right)\text{ chia hết cho }n^2\text{ với mọi }n\ge1\)
\(n^2-n\text{ chia hết cho }\left(n-1\right)^2\text{ với mọi }n\in N;\text{ }n\ge2\)
\(\text{ }\)\(\Rightarrow n^2-n+5\left(n-1\right)^2\text{ chia hết cho }\left(n-1\right)^2\text{ với }n\in N;n\ge2\text{ (đpcm)}\)
27 tháng 6 2017
a, Ta có: \(\left(n^2+3n-1\right)\left(n+2\right)-n^3+2\)
\(=n^3+3n^2-n+2n^2+6n-2-n^3+2\)
\(=5n^2+5n=5\left(n^2+n\right)⋮5\)
\(\Rightarrowđpcm\)
b, \(\left(6n+1\right)\left(n+5\right)-\left(3n+5\right)\left(2n-1\right)\)
\(=6n^2+31n+5-6n^2-7n+5\)
\(=24n+10=2\left(12n+5\right)⋮2\)
\(\Rightarrowđpcm\)
15 tháng 6 2016
\(n^3+n^2+2n^2+2n\)
\(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)\)
\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3. Mà 2 và 3 nguyên tố cùng nhau nên tích chia hết cho 6.
15 tháng 6 2016
c) \(n^2+14n+49-n^2+10n-25\)
\(=24n+24=24\left(N+1\right)\) CHIA HẾT CHO 24
\(n^n-n-\left(n^2-2n+1\right)=\left(n^2-n\right)\left(n^{n-2}+n^{n-3}+...+n+1\right)-\left(n-1\right)^2=\left(n-1\right)n\left(n^{n-2}+n^{n-3}+...+n+1\right)-\left(n-1\right)^2\)
\(\left(n-1\right)\left[\left(n^{n-1}-1\right)+\left(n^{n-2}-1\right)+...+\left(n-1\right)\right]-\left(n-1\right)^2\)
=> luôn chia hết cho (n-1)^2
Fuxfucfucgicxhkcft8eyon