Cho phân số :\(\frac{a}{b}\left(a,b>0\right)\)
CMR: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=6\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow xy+yz+zx=6\)
\(P=\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}=\frac{x^4}{xy+2xz}+\frac{y^4}{yz+2xy}+\frac{z^4}{zx+2yz}\)
\(P\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{xy+yz+zx}{3}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{2}\)
\(a+b+c=6abc\Leftrightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=6\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow xy+yz+zx=6\)
\(P=\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}=\frac{x^4}{xy+2zx}+\frac{y^4}{yz+2xy}+\frac{z^4}{zx+2yz}\)
\(P\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{xy+yz+zx}{3}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{2}\) hay \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Bạn tham khảo lời giải bài 4 link sau:
Câu hỏi của Bonking - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
Áp dụng BĐT Cauchy , có :
\(\frac{a^3+b^3}{ab}+\frac{b^3+c^3}{bc}+\frac{c^3+a^3}{ca}\ge\frac{2\sqrt{a^3.b^3}}{ab}+\frac{2\sqrt{b^3.c^3}}{bc}+\frac{2\sqrt{c^3.a^3}}{ca}\)
\(\Leftrightarrow...........\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}\)
Lại có :
\(2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}\ge2a+2b+2c\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+\left(b-2\sqrt{bc}+c\right)+\left(c-2\sqrt{ca}+c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2\ge0\) (đúng)
Vậy \(\frac{a^3+b^3}{ab}+\frac{b^3+c^3}{bc}+\frac{c^3+a^3}{ca}\ge2a+2b+2c=2\left(a+b+c\right)\)
Ta có BĐT \(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)
\(\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=ab\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3}{ab}\ge\frac{ab\left(a+b\right)}{ab}=a+b\)
Tương tự cũng có 2 BĐT:
\(\frac{b^3+c^3}{bc}\ge b+c;\frac{c^3+a^3}{ca}\ge c+a\)
Cộng theo vế được ĐPCM
Khi a=b=c
Áp dụng BĐT AM-GM ta được
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+a+b+c\ge2\sqrt{\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)\left(a+b+c\right)}\)
Như vậy, để kết thúc chứng minh ta cần chỉ ra rằng
\(\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)\left(a+b+c\right)\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Thật vậy, áp dụng BĐT Cauchy-Schwartz ta có:
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}\)
Công việc cuối cần chứng minh \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)
Hay \(\left(a^3+ab^2\right)+\left(b^3+bc^2\right)+\left(c^3+ca^2\right)\ge2\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)
Đây là một đánh giá đúng theo BĐT AM-GM do đó BĐT ban đầu được chứng minh
Quy đồng mẫu số ở vế trái:\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\)
Ta cần chứng minh : \(\frac{a^2+b^2}{ab}\)\(\ge\)2 \(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2\ge2ab\)
Chứng minh bất đẳng thức Cosi(lớp 8) : Ta luôn có : \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\)\(a^2-2ab+b^2\ge0\)\(\Rightarrow a^2+b^2\ge0+2ab=2ab\)(1)
Từ (1) suy ra bài toán luôn đúng với mọi a,b hay \(\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)hay \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
\(\Rightarrow\)đpcm.