cho 3 số x,y,z>0 xy+yz+xz=xyz Tìm GTNN của biểu thức:
M=1/4x+3y+z + 1/x+4y+3x + 1/3x+y+4z
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
9 tháng 10 2017
Lời giải:
Từ \(xy+yz+xz=xyz\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{8^2}{4x+3y+z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{4}{x}+\frac{3}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{64}{4x+3y+z}\)
Thiết lập tương tự với các phân thức còn lại:
\(\frac{4}{y}+\frac{3}{z}+\frac{1}{x}\ge\frac{64}{4y+3z+x}\)
\(\frac{4}{z}+\frac{3}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{64}{3x+y+4z}\)
Cộng theo vế: \(8\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge64\left(\frac{1}{4x+3y+z}+\frac{1}{x+4y+3z}+\frac{1}{3x+y+4z}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{4x+3y+z}+\frac{1}{x+4y+3z}+\frac{1}{3x+y+4z}\le\frac{1}{8}\)
Vậy GT:N của biểu thức là \(\frac{1}{8}\) khi \(x=y=z=3\)
DT
9 tháng 2 2018
\(xy+yz+xz=xyz\Rightarrow\)\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\)
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz:
\(\dfrac{1}{4x+3y+z}\le\dfrac{1}{64}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
CMTT\(\Rightarrow\) \(M\le\dfrac{1}{64}\left(\dfrac{8}{x}+\dfrac{8}{y}+\dfrac{8}{z}\right)=\dfrac{1}{8}\)
Dấu''=" xảy ra\(\Leftrightarrow x=y=z=3\)
27 tháng 2 2016
\(xy+xz+yz=xyz\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
bây giờ ta đi chứng minh bđt phụ:
với \(a_1;a_2;...;a_8>0\) ta có: \(a_1+a_2+...+a_8\ge8\sqrt[8]{a_1a_2...a_8}\)(Cô si)
\(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_8}\ge8\sqrt[8]{\frac{1}{a_1a_2...a_8}}\)
Nhân vế với vế ta đc:
\(\left(a_1+a_2+...+a_8\right)\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_8}\right)\ge64\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_8}\ge\frac{64}{a_1+a_2+...+a_8}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a1=a2=..=a8
a/d bđt trên ta có:
\(\frac{64}{4x+3y+z}=\frac{64}{x+x+x+x+y+y+y+z}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
a/d tương tự với 2 cái còn lại rồi cộng vế với vế ; thay tổng 1/x+1/y+1/z=1 là xong nhé
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 3 2020
Lời giải:
Từ $xy+yz+xz=xyz\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{4x+3y+z}\leq \frac{1}{64}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\frac{1}{x+4y+3z}\leq \frac{1}{64}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\frac{1}{3x+y+4z}\leq \frac{1}{64}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\right)\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên và thu gọn ta được:
$A\leq \frac{1}{8}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{8}$
Vậy $A_{\max}=\frac{1}{8}$ khi $x=y=z=3$
TN
5 tháng 2 2018
Dự đoán dấu "=" khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow S=1\)
Ta chứng minh \(S=1\) là GTNN của \(S\)
Thật vật ta có: \(\frac{1}{4x^2-yz+2}+\frac{1}{4y^2-xz+2}+\frac{1}{4z^2-xy+2}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\frac{-4x^2+yz+1}{4x^2-yz+2}+\frac{-4y^2+xz+1}{4y^2-xz+2}+\frac{-4z^2+xy+1}{4z^2-xy+2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2yz-4x^2+xy+xz}{4x^2-yz+2}+\frac{2xz-4y^2+xy+yz}{4y^2-xz+2}+\frac{2xy-4z^2+xz+yz}{4z^2-xy+2}\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\frac{-\left(2x+z\right)\left(x-y\right)-\left(2x+y\right)\left(x-z\right)}{4x^2-yz+2}\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\left(\left(x-y\right)\left(\frac{2y+z}{4y^2-xz+2}-\frac{2x+z}{4x^2-yz+2}\right)\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\left(\left(x-y\right)^2\left(\frac{z^2+6yz+6xz+8xy-4}{\left(4y^2-xz+2\right)\left(4x^2-yz+2\right)}\right)\right)\ge0\) *Đúng*
BĐT cuối đúng hay ta có ĐCPM
NT
27 tháng 3 2016
http://diendantoanhoc.net/topic/156111-t%C3%ADnh-gi%C3%A1-tr%E1%BB%8B-l%E1%BB%9Bn-nh%E1%BA%A5t-c%E1%BB%A7a-m-frac14x3yz-frac1x4y3z-frac13xy4z/
Sửa thành tìm GTLN nhé !
Với x,y,z>0 chia 2 vế của \(xy+yz+xz=xyz\) cho \(xyz\) ta có :
\(xy+yz+xz=xyz\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{1}{4x+3y+z}\le\frac{1}{64}\left(\frac{4}{x}+\frac{3}{y}+\frac{1}{z}\right)\). Tương tự cho 2 BĐT kia:
\(\frac{1}{x+4y+3z}\le\frac{1}{64}\left(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{3}{z}\right);\frac{1}{3x+y+4z}\le\frac{1}{64}\left(\frac{3}{x}+\frac{1}{y}+\frac{4}{z}\right)\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(M\leΣ\frac{1}{64}\left(\frac{4}{x}+\frac{3}{y}+\frac{1}{z}\right)=Σ\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{8}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=3\)