cho a>b>0
CMR \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\ge3\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 3 2020
Bạn tham khảo:
Câu hỏi của tran duc huy - Toán lớp 10 | Học trực tuyến
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 2 2020
\(a-b+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(a-b\right)b.1}{b\left(a-b\right)}}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\end{matrix}\right.\)
\(VT=a-b+\frac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}+\frac{b+1}{2}+\frac{b+1}{2}-1\)
\(VT\ge4\sqrt[4]{\frac{4\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}{4\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}}-1=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}b=1\\a=2\end{matrix}\right.\)
\(\frac{a-b}{2}+\frac{a-b}{2}+\frac{1}{b\left(a-b\right)^2}+b\ge4\sqrt[4]{\frac{b\left(a-b\right)^2}{4b\left(a-b\right)^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{3\sqrt{2}}{2}\\b=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 2 2020
\(a+\frac{4}{b\left(a-b\right)^2}=a-b+b+\frac{4}{b\left(a-b\right)^2}\ge a-b+2\sqrt{\frac{4b}{b\left(a-b\right)^2}}=a-b+\frac{4}{a-b}\ge4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=1\end{matrix}\right.\)
b/ \(a-b+\frac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}+b\ge2\sqrt{\frac{4\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}}+b=\frac{4}{b+1}+b+1-1\ge4-1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\end{matrix}\right.\)
ML
5 tháng 8 2016
Côsi:
\(VT=\left(a-b\right)+\frac{b+1}{2}+\frac{b+1}{2}+\frac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}-1\)
\(\ge4\sqrt[4]{\left(a-b\right).\frac{b+1}{2}.\frac{b+1}{2}.\frac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}}-1=3\)
Ở đây ko yêu cầu chỉ ra dấu bằng nên ta ko cần làm điều đó.
TN
27 tháng 11 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(VT=a^2+b^2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+a+b\)
\(=1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+a+b\)
\(=1+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{1}{a}+2a\right)+\left(\frac{1}{b}+2b\right)-\left(a+b\right)\)
\(\ge3+2\sqrt{\frac{1}{a}\cdot2a}+2\sqrt{\frac{1}{b}\cdot2b}-\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
\(\ge3+4\sqrt{2}-\sqrt{2}=3+3\sqrt{2}=3\left(1+\sqrt{2}\right)\)
Khi \(a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
DP
0
T
10 tháng 7 2019
Bài 1: Theo đề bài: \(VT=\left(a-1\right)+\frac{1}{\left(a-1\right)}+1\ge2\sqrt{\left(a-1\right).\frac{1}{a-1}}+1=2+1=3^{\left(đpcm\right)}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a-1\right)=\frac{1}{a-1}\Leftrightarrow a=2\)
Bài 2: \(BĐT\Leftrightarrow\left(a^2+2\right)^2\ge4\left(a^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+4a^2+4\ge4a^2+4\)
\(\Leftrightarrow a^4\ge0\) (đúng). Đẳng thức xảy ra khi a = 0
Bài 3: Hình như sai đề thì phải ạ. Nếu a = 1,5 ; b = 1 thì \(\frac{19}{10}=1,9< 3\)
\(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)
Do a>b>0 nên a-b>0. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương ta được:
\(\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\ge3\sqrt{\left(a-b\right).b.\frac{1}{b\left(a-b\right)}}=3\)
=>\(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\ge3\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a=2;b=1