K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

28 tháng 3 2017

Câu b) x/y + y/x >hoặc = 2

<=> x/y + y/x - 2 > hoặc = 0

<=> x^2 + y^2 -2xy /xy >hoặc =0

<=> (x-y)^2 /xy > hoặc = 0

(x-y)^2 > hoặc = 0 với mọi x;y .Dấu"=" xảy ra khi x=y

vì x;y cùng dấu =>xy>0

=>(x-y)^2 / xy > hoặc = 0 luôn luôn đúng.

Mà các Phép biến đổi trên là tương đương

=>x/y + y/x >hoặc =2 với mọi x;y cùng dấu. Dấu "=" xảy ra khi x=y. Nhớ nhé

28 tháng 3 2017

Câu g) a^2 + b^2 > hoặc =1/2 với a+b=1

vì a+b=1 =>(a+b)^2 = 1 =>(1*a+1*b)^2 =1

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski cho 4 số 1;1;a;b ta có

(1*a+1*b)^2 < hoặc = (1^2 + 1^2 )(a^2 + b^2).Dấu "=" xảy ra khi 1^2 / a^2 = 1^2 /b^2 =>1/a = 1/b=>a=b=1/2

Hay 1< hoặc = 2(a^2 +b^2) .Dấu "=" xảy ra khi a=b=1/2

=>a^2 + b^2 > hoặc = 1/2.Dấu "=" xảy ra khi a=b=1/2 =>đpcm

AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 1 2020

Vì đã khuya nên não cũng không còn hoạt động tốt nữa, mình làm bài 1 thôi nhé.

Bài 1:

a)

\(2\text{VT}=\sum \frac{2bc}{a^2+2bc}=\sum (1-\frac{a^2}{a^2+2bc})=3-\sum \frac{a^2}{a^2+2bc}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\sum \frac{a^2}{a^2+2bc}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^2+2bc+b^2+2ac+c^2+2ab}=\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1\)

Do đó: \(2\text{VT}\leq 3-1\Rightarrow \text{VT}\leq 1\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

b)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\text{VT}=\sum \frac{ab^2}{a^2+2b^2+c^2}=\sum \frac{ab^2}{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}+\frac{a^2+b^2+c^2}{3}+\frac{a^2+b^2+c^2}{3}+b^2}\leq \sum \frac{1}{16}\left(\frac{9ab^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{ab^2}{b^2}\right)\)

\(=\frac{1}{16}.\frac{9(ab^2+bc^2+ca^2)}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a+b+c}{16}(1)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(3(ab^2+bc^2+ca^2)\leq (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\)

\(\Rightarrow \frac{1}{16}.\frac{9(ab^2+bc^2+ca^2)}{a^2+b^2+c^2)}\leq \frac{3}{16}(a+b+c)(2)\)

Từ $(1);(2)\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{a+b+c}{4}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 1 2020

Lý giải xíu chỗ $3(ab^2+bc^2+ca^2)\leq (a^2+b^2+c^2)(a+b+c)$ cho bạn nào chưa rõ:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)=(a^3+ac^2)+(b^3+a^2b)+(c^3+b^2c)+(ab^2+bc^2+ca^2)$

$\geq 2a^2c+2ab^2+2bc^2+(ab^2+bc^2+ca^2)=3(ab^2+bc^2+ca^2)$

CHO a,b,c>0 thỏa mãn: \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge a^2+b^2+c^2\)CMR: \(\frac{a^2b^2}{c^3\left(a^2+b^2\right)}+\frac{b^2c^2}{a^3\left(b^2+c^2\right)}+\frac{c^2a^2}{b^3\left(a^2+c^2\right)}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\)ĐẶT \(A=\frac{a^2b^2}{c^3\left(a^2+b^2\right)}+\frac{b^2c^2}{a^3\left(b^2+c^2\right)}+\frac{c^2a^2}{b^3\left(c^2+a^2\right)}\)ĐẶT:\(\frac{1}{a}=x,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c\)\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge1\)\(\Rightarrow...
Đọc tiếp

CHO a,b,c>0 thỏa mãn: \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge a^2+b^2+c^2\)

CMR: \(\frac{a^2b^2}{c^3\left(a^2+b^2\right)}+\frac{b^2c^2}{a^3\left(b^2+c^2\right)}+\frac{c^2a^2}{b^3\left(a^2+c^2\right)}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\)

ĐẶT \(A=\frac{a^2b^2}{c^3\left(a^2+b^2\right)}+\frac{b^2c^2}{a^3\left(b^2+c^2\right)}+\frac{c^2a^2}{b^3\left(c^2+a^2\right)}\)

ĐẶT:\(\frac{1}{a}=x,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge1\)

\(\Rightarrow A=\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{z^2+x^2}+\frac{z^3}{z^2+y^2}\)

TA CÓ:

\(x\left(y^2+z^2\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2x^2\left(y^2+z^2\right)\left(y^2+z^2\right)}\le\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{\left(2x^2+2y^2+2z^2\right)^3}{27}}=\frac{2}{3\sqrt{3}}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)TƯƠNG TỰ:

\(y\left(x^2+z^2\right)\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2},z\left(x^2+y^2\right)\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)LẠI CÓ:
\(A=\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{x^2+z^2}+\frac{z^3}{x^2+y^2}=\frac{x^4}{x\left(y^2+z^2\right)}+\frac{y^4}{y\left(x^2+z^2\right)}+\frac{z^4}{z\left(x^2+y^2\right)}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x\left(y^2+z^2\right)+y\left(x^2+z^2\right)+z\left(x^2+y^2\right)}\ge\frac{1}{3.\frac{2}{3\sqrt{3}}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \)\(\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{x^2+y^2+z^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\)

DẤU BẰNG XẢY RA\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow DPCM\)

 

2
10 tháng 9 2018

tự ra câu hởi tự trả lời à bạn

10 tháng 9 2018

tại tui trả lời bài này cho 1 bạn ở trên facebook nên phải chụp màn hình lại nên làm v á

15 tháng 10 2021

a: \(x^2\left(x-3\right)-4x+12\)

\(=x^2\left(x-3\right)-4\left(x-3\right)\)

\(=\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\)

b: \(2a\left(x+y\right)+x+y=\left(x+y\right)\left(2a+1\right)\)

c: \(6x^2-12x-7x+14\)

\(=6x\left(x-2\right)-7\left(x-2\right)\)

\(=\left(x-2\right)\left(6x-7\right)\)

29 tháng 9 2016

Đăng từng bài thôi chứ bạn

29 tháng 9 2016

mất công lém

30 tháng 8 2019

Đặt \(x^2=a\ge0;y^2=b\ge0\)

Ta có BĐT phụ:\(4ab\le\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(true\right)\)

Ta có:\(\frac{4ab}{\left(a+b\right)^2}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2}+2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=3\) ( BĐT AM-GM )

Ta có đpcm

26 tháng 9 2019

Câu 2:

\(\frac{a^2b}{2a^3+b^3}-\frac{1}{3}+1-\frac{a^2+2ab}{2a^2+b^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{2a^2+b^2}-\frac{\left(a-b\right)^2\left(2a+b\right)}{3\left(2a^3+b^3\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left[\frac{1}{2a^2+b^2}-\frac{\left(2a+b\right)}{3\left(2a^3+b^3\right)}\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a-b\right)^4\left(a+b\right)}{3\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^3+b^3\right)}\ge0\left(ok!\right)\)

Em tính/ quy đồng/ phân tích thành nhân tử sai chỗ nào thì chị tự check nhá:)

1) cho a,b,c là 3 số thực khác 0 thỏa mãn a+b-c/c=b+c-a/a=c+a-b/bhãy tính B= (1+b/a)(1+a/c)(1+c/b)2) CHo 2 số a, b thỏ mã a+3b= 0. tính giá trị M = \(\frac{2a+b}{a-b}=\frac{2a-b}{a+2b}\)3) Cmr b= \(2x^2-12xy+5y^2\) và c= \(-x-4y^2+12xy\) ko cùng nhận giá trị âm4) CHo p/s : d= \(\frac{n^2+3n-21}{2-n}\)a) tính d biết \(n^2-3n=0\)b) Tìm tất cả giá trị của n để d nguyên5)Tìm các số nguyên m thỏa mãn (5-m)(2m-1)>06)Tìm x,y...
Đọc tiếp

1) cho a,b,c là 3 số thực khác 0 thỏa mãn a+b-c/c=b+c-a/a=c+a-b/b
hãy tính B= (1+b/a)(1+a/c)(1+c/b)
2) CHo 2 số a, b thỏ mã a+3b= 0. tính giá trị M = \(\frac{2a+b}{a-b}=\frac{2a-b}{a+2b}\)
3) Cmr b= \(2x^2-12xy+5y^2\) và c= \(-x-4y^2+12xy\) ko cùng nhận giá trị âm
4) CHo p/s : d= \(\frac{n^2+3n-21}{2-n}\)
a) tính d biết \(n^2-3n=0\)
b) Tìm tất cả giá trị của n để d nguyên
5)Tìm các số nguyên m thỏa mãn (5-m)(2m-1)>0
6)Tìm x,y để \(\left(x^3-4x\right)^2+3x^2.|y-3|=0\)
7)Cho \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)cmr \(\frac{a^2+c^2}{b^2+c^2}=\frac{a}{b}\)
8)\(\frac{3x-2y}{37}=\frac{5y-3z}{15}=\frac{2z-5x}{2}\) và 10x-3y-2z=-4
9)Cho tỷ lệ thức \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\). Cmr (a+2c)(b+d)=(a+c)(b+2d)
10)Cho x,y,z là cá số khác 0 và \(x^2=yz,y^2=xz,z^2=xy\). Cmr x=y=z
11)Tìm x biết \(\frac{x-1}{2009}+\frac{x-2}{2008}=\frac{x-3}{2007}+\frac{x-4}{2006}\)

0

a) Ta có: \(\left(3-xy^2\right)^2-\left(2+xy^2\right)^2\)

\(=\left[\left(3-xy^2\right)-\left(2+xy^2\right)\right]\cdot\left[\left(3-xy^2\right)+\left(2+xy^2\right)\right]\)

\(=\left(3-xy^2-2-xy^2\right)\cdot\left(3-xy^2+2+xy^2\right)\)

\(=5\cdot\left(1-2xy^2\right)\)

\(=5-10xy^2\)

b) Ta có: \(9x^2-\left(3x-4\right)^2\)

\(=\left[3x-\left(3x-4\right)\right]\left[3x+\left(3x-4\right)\right]\)

\(=\left(3x-3x+4\right)\cdot\left(3x+3x-4\right)\)

\(=4\cdot\left(6x-4\right)\)

\(=24x-16\)

c) Ta có: \(\left(a-b^2\right)\left(a+b^2\right)\)

\(=a^2-b^4\)

d) Ta có: \(\left(a^2+2a+3\right)\left(a^2+2a-3\right)\)

\(=\left(a^2+2a\right)^2-9\)

\(=a^4+4a^3+4a^2-9\)

e) Ta có: \(\left(x-y+6\right)\left(x+y-6\right)\)

\(=x^2+xy-6x-yx-y^2+6y+6x+6y-36\)

\(=x^2-y^2+12y-36\)

f) Ta có: \(\left(y+2z-3\right)\left(y-2z-3\right)\)

\(=\left(y-3\right)^2-\left(2z\right)^2\)

\(=y^2-6y+9-4z^2\)

g) Ta có: \(\left(2y-5\right)\left(4y^2+10y+25\right)\)

\(=\left(2y\right)^3-5^3\)

\(=8y^3-125\)

h) Ta có: \(\left(3y+4\right)\left(9y^2-12y+16\right)\)

\(=\left(3y\right)^3+4^3\)

\(=27y^3+64\)

i) Ta có: \(\left(x-3\right)^3+\left(2-x\right)^3\)

\(=\left(x-3\right)^3-\left(x-2\right)^3\)

\(=x^3-9x^2+27x-27-\left(x^3-6x^2+12x-8\right)\)

\(=x^3-9x^2+27x-27-x^3+6x^2-12x+8\)

\(=-3x^2+15x-19\)

j) Ta có: \(\left(x+y\right)^3-\left(x-y\right)^3\)

\(=\left[\left(x+y\right)-\left(x-y\right)\right]\cdot\left[\left(x+y\right)^2+\left(x+y\right)\left(x-y\right)+\left(x-y\right)^2\right]\)

\(=\left(x+y-x+y\right)\left(x^2+2xy+y^2+x^2-y^2+x^2-2xy+y^2\right)\)

\(=2y\cdot\left(3x^2+y^2\right)\)

\(=6x^2y+2y^3\)