Question

[Thầy Cao Đô]

Cho tam giác $A B C$ với $A(-1 ;-2)$ và phương trình đường thẳng chứa cạnh $B C$ là $x-y+4=0$.

a) Viết phương trình đường cao $AH$ của tam giác trên.

b) Viết phương trình đường trung bình ứng với cạnh đáy $BC$ của tam giác trên.

Answer 1

[Lê Song Phương]

a) Tọa độ vector pháp tuyến của đường BC là \(\overrightarrow{n_{BC}}=\left(1;-1\right)\) 

\(\Rightarrow\) Tọa độ vector pháp tuyến của đường AH là \(\overrightarrow{n_{AH}}=\left(1;1\right)\) 

\(\Rightarrow AH:x+y+m=0\) với \(m\inℝ\)

Mà AH đi qua A nên tọa độ điểm A thỏa mãn pt đường thẳng AH \(\Rightarrow-1-2+m=0\) \(\Leftrightarrow m=3\)

Vậy \(AH:x+y+3=0\)

b) Gọi d là đường thẳng chứa đường trung bình ứng với cạnh BC của tam giác ABC. Khi đó \(d//BC\) nên \(\overrightarrow{n_{BC}}=\overrightarrow{n_d}=\left(1;-1\right)\) (với \(\overrightarrow{n_d}\) là vector pháp tuyến của đường thẳng d) \(\Rightarrow d:x-y+n=0\) \(\left(n\inℝ\right)\)

Mặt khác, tọa độ H là nghiệm của hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x-y+4=0\\x+y+3=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{7}{2}\\y=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow H\left(-\dfrac{7}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)

Gọi \(I\left(x_I;y_I\right)\) là trung điểm AH \(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x_I=\dfrac{x_A+x_H}{2}=\dfrac{-1-\dfrac{7}{2}}{2}=-\dfrac{9}{4}\\y_I=\dfrac{y_A+y_H}{2}=\dfrac{-2+\dfrac{1}{2}}{2}=-\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\) 

Do d là đường trung bình ứng với cạnh BC của tam giác ABC nên d đi qua trung điểm I của đường cao AH \(\Rightarrow-\dfrac{9}{4}-\left(-\dfrac{3}{4}\right)+n=0\) \(\Leftrightarrow n=\dfrac{3}{2}\) \(\Rightarrow d:x-y+\dfrac{3}{2}=0\)

Answer 2

[Đào Thị Thảo]