Question

[Lờ Ô Lô20]

Tìm nϵN để các phân số sau tối giảm

a) A=\(\dfrac{2n+7}{5n+2}\)

Answer 1

[Trịnh Thành Long K9A2 ( Acc Quang )]

Vì n là số nguyên nên 2n + 7 và 5n + 2 là số nguyên.

Gọi $d\in ƯC\left(2n+7,5n+2\right)$

$\Rightarrow 2n+7⋮d$và $5n+2⋮d$

$\Rightarrow 5\left(2n+7\right)-2\left(5n+2\right)⋮d\Rightarrow 10n+35-10n-4⋮d$

$\Rightarrow 31⋮d\Rightarrow d\in \left\{1;-1;31;-31\right\}$

Ta có $2n+7⋮31\iff 2n+7+31⋮31\iff 2n+38⋮31\iff 2\left(n+19\right)⋮31$

Vì $\left(2,31\right)=1\Rightarrow n+19⋮31\iff n+19=31k\iff n=31k-19$

+) Nếu $n=31k-19$

$\Rightarrow 2n+7=2\left(31k-19\right)+7=62k-38+7=62k-31$

$=31\left(2k-1\right)⋮31$mà $2n+7>2\Rightarrow 2n+7$là hợp số ( loại )

+) Nếu $n\ne 31k-19$thì $2n+7$ko chia hết cho 31.

$\Rightarrow ƯC\left(2n+7,5n+2\right)=\left\{1;-1\right\}$

$\Rightarrow \frac{2n+7}{5n+2}$là PSTG .

                       Vậy n\$n\ne 31k-19$thì $\frac{2n+7}{5n+2}$là PSTG $\forall$số nguyên n.

Answer 2

[Trịnh Thành Long K9A2 ( Acc Quang )]

Vì n là số nguyên nên 2n + 7 và 5n + 2 là số nguyên.

Gọi $d\in ƯC\left(2n+7,5n+2\right)$

$\Rightarrow 2n+7⋮d$và $5n+2⋮d$

$\Rightarrow 5\left(2n+7\right)-2\left(5n+2\right)⋮d\Rightarrow 10n+35-10n-4⋮d$

$\Rightarrow 31⋮d\Rightarrow d\in \left\{1;-1;31;-31\right\}$

Ta có $2n+7⋮31\iff 2n+7+31⋮31\iff 2n+38⋮31\iff 2\left(n+19\right)⋮31$

Vì $\left(2,31\right)=1\Rightarrow n+19⋮31\iff n+19=31k\iff n=31k-19$

+) Nếu $n=31k-19$

$\Rightarrow 2n+7=2\left(31k-19\right)+7=62k-38+7=62k-31$

$=31\left(2k-1\right)⋮31$mà $2n+7>2\Rightarrow 2n+7$là hợp số ( loại )

+) Nếu $n\ne 31k-19$thì $2n+7$ko chia hết cho 31.

$\Rightarrow ƯC\left(2n+7,5n+2\right)=\left\{1;-1\right\}$

$\Rightarrow \frac{2n+7}{5n+2}$là PSTG .

                       Vậy n\$n\ne 31k-19$thì $\frac{2n+7}{5n+2}$là PSTG $\forall$số nguyên n.