Nếu phương trình \(x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0\)0 có nghiệm và \(a^2+b^2\)đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm \(a\)biết \(a>0\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NN
2 tháng 4 2017
Giải:
Chia phương trình cho \(x^2\) ta có:
\(x^2+\frac{1}{x^2}+ax+\frac{b}{x}+2=0\left(1\right)\)
\(\left(1\right)-\left(ax+\frac{b}{x}\right)=x^2+\frac{1}{x^2}+2\Leftrightarrow\left(ax+\frac{b}{x}\right)^2=\left(x^2+\frac{1}{x^2}+2\right)^2\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:
\(\left(ax+by\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)
Vậy \(\left(ax+\frac{b}{x}\right)^2\le\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(a^2+b^2\right)\) nên \(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(x^2+\frac{1}{x^2}+2\right)^2\)
Đặt \(x^2+\frac{1}{x^2}=t\left(t\ge2\right)\) nên \(a^2+b^2\ge\frac{\left(t+2\right)^2}{t}=t+\frac{4}{t}+4\ge2\sqrt{t.\frac{4}{t}}+4=8\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x^2+\frac{1}{x^2}=2\Leftrightarrow x=1\) và \(a=b\) sẽ tìm ra a
N
11 tháng 7 2017
nhận thấy x=0 không là nghiệm,chia cả 2 vế của PT cho x2
\(PT\Leftrightarrow x^2+ax+b+\dfrac{a}{x}+\dfrac{1}{x^2}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)+a\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+b=0\)
đặt \(x+\dfrac{1}{x}=k\Leftrightarrow x^2+\dfrac{1}{x^2}=k^2-2\)
\(PT\Leftrightarrow k^2-2+ak+b=0\)(*)
\(\Leftrightarrow k^2-2=-\left(ak+b\right)\Leftrightarrow\left(k^2-2\right)^2=\left(ak+b\right)^2\)
Áp dụng BĐT bunyakovsky:
\(\left(k^2-2\right)^2=\left(ak+b\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(k^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\dfrac{\left(k^2-2\right)^2}{k^2+1}\)
Đến đây nếu use phương pháp miền giá trị thì sẽ ra \(a^2+b^2\ge0\).Tuy nhiên lại không tìm được x, có nghĩa là PT vô nghiệm, trái đề bài
để ý ràng \(k=x+\dfrac{1}{x}\ge2\)
\(a^2+b^2\ge\dfrac{\left(k^2-2\right)^2}{k^2+1}=k^2+1+\dfrac{9}{k^2+1}-6\)( chọn điểm rơi k=2)
\(=\left(\dfrac{25}{k^2+1}+k^2+1\right)-\dfrac{16}{k^2+1}-6\)
Áp dụng BĐT AM-GM và \(k\ge2\) ta có:
\(a^2+b^2\ge2.5-\dfrac{16}{5}-6=\dfrac{4}{5}\)
Dấu = xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{k}=\dfrac{b}{1}\\k=2\\x=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow a=2b\)
Thế vào PT đầu tìm ra a,b với x=1
P/s: thực ra x phải là \(\pm1\) nhưng a>0 nên chỉ xét x>0
2 tháng 7 2017
Gọi m là nghiệm chung của 2 phương trình thì ta có:
\(\hept{\begin{cases}m^2+am+6=0\\m^2+bm+12=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow2m^2+\left(a+b\right)m+18=0\)
Để phương trình có nghiệm thì
\(\Delta=\left(a+b\right)^2-144\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left|a+b\right|\ge12\)
Ta lại có:
\(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\ge12\)
Tới đây thì đơn giản rồi nên b tự làm nhé.
Chia cho X2 vì X=9 không là nghiệm của PT
Đặt t=X+\(\frac{1}{x}\)
=> t2+at+b-2=0
=>(t2-2)2=(at+b)2nhỏ hơn hoặc bằng (a2+b2)(1+t2)
=>a2+b2 lớn hơn hoặc bằng \(\frac{\left(t^2-2\right)^2}{t^2+1}\)lớn hơn hoặc bằng 0,8 dấu bằng khi..............
a=b à bạn