Cho a b c là các số thực dương cmr a^2/5a^2+(b+c)^2+b^2/ 5b^2+(c+a)^2+c^2/5c^2+(a+b)^2 < hoặc = 1/3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
TP
Tùng Phan Thanh
1 tháng 2 2023
Đúng(0)
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 4 2021
Lời giải:
Bạn nhớ tới bổ đề sau: Với $a,b>0$ thì $a^3+b^3\geq ab(a+b)$.
Áp dụng vào bài:
$5a^3-b^3\leq 5a^3-[ab(a+b)-a^3]=6a^3-ab(a+b)$
$\Rightarrow \frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\leq \frac{6a^3-ab(a+b)}{ab+3a^2}=\frac{6a^2-ab-b^2}{3a+b}=\frac{(3a+b)(2a-b)}{3a+b}=2a-b$
Tương tự:
$\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}\leq 2b-c; \frac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\leq 2c-a$
Cộng theo vế:
$\Rightarrow \text{VT}\leq a+b+c=3$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
T
7 tháng 5 2020
\(\Leftrightarrow\Sigma\sqrt{\frac{3a^3}{\left[5a^2+\left(b+c\right)^2\right]\left(a+b+c\right)}}\le1\)
Theo Am-GM: \(VT=\Sigma\sqrt{\frac{3a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}.\frac{a}{a+b+c}}\le\Sigma\frac{3a^2}{2\left(5a^2+\left(b+c\right)^2\right)}+\frac{1}{2}\)
Như vậy nó là đủ để chứng minh rằng: \(\Sigma\frac{3a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}\le1\)
Giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\) nó tương đương:
(Gõ Latex, không hiện thì vô thống kê hỏi đáp xem)
Đây là điều hiển nhiên/
PS: Bài này quan trọng là ý tưởng phá căn thôi chứ không có gì khó. Lúc đầu UCT bất đẳng thức cuối cho đẹp nhưng phải xét các TH mệt lắm, chưa rành nên không làm cách đó:D
T
7 tháng 5 2020
Chứng minh: \(\Sigma\frac{3a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}\le1\), cách 2:
Đổi biến sang pqr: (Vô thống kê hỏi đáp xem nếu olm không hiện Latex)
Nếu \(p^2\le4q\) ta cần:
(Hiển nhiên)
Nếu \(p^2\ge4q\) thì cần chứng minh:
(Hiển nhiên)
Từ 2 TH trên ta thu được điều phải chứng minh.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 11 2019
\(\Leftrightarrow\frac{5a}{5a+b}+\frac{5b}{5b+c}+\frac{5c}{5c+a}\le\frac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{b}{5a+b}+\frac{c}{5b+c}+\frac{a}{5c+a}\ge\frac{1}{2}\)
Ta có \(VT=\frac{a^2}{a^2+5ac}+\frac{b^2}{b^2+5ab}+\frac{c^2}{c^2+5bc}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)^2}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
12 tháng 4 2020
với mọi x,y,z >0 ta có: \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz};\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x+y+z}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
đẳng thức xảy ra khi x=y=z
ta có: \(5a^2+2ab+2b^2=\left(2a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2\ge\left(2a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}\le\frac{1}{2a+b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
đẳng thức xảy ra khi a=b
tương tự: \(\frac{1}{\sqrt{5b^2+2ab+2b^2}}\le\frac{1}{2b+c}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
đẳng thức xảy ra khi b=c
\(\frac{1}{\sqrt{5c^2+2bc+2c^2}}\le\frac{1}{2c+a}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
đẳng thức xảy ra khi c=a
Vậy \(\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ca+2a^2}}+\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}+\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ac+2a^2}}\le\frac{1}{9}\left(\frac{3}{a}+\frac{3}{b}+\frac{3}{c}\right)\)
\(\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\le\frac{2}{3}\)
đẳng thức xảy ra khi a=b=c=\(\frac{3}{2}\)
N
20 tháng 1 2019
\(VT=\sum\dfrac{a^2}{5a^2+b^2+c^2+2bc}=\sum\dfrac{a^2}{\left(2a^2+bc\right)+\left(2a^2+bc\right)+a^2+b^2+c^2}\)
\(\le\sum\dfrac{a^2}{9}\left(\dfrac{2}{2a^2+bc}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)=\dfrac{1}{9}+\sum\dfrac{2a^2}{9\left(2a^2+bc\right)}\)
\(=\dfrac{4}{9}-\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{bc}{2a^2+bc}+\dfrac{ac}{2b^2+ac}+\dfrac{ab}{2c^2+ab}\right)\)
\(\le\dfrac{4}{9}-\dfrac{1}{9}.\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=\dfrac{1}{3}\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c
31 tháng 8 2019
A=\(\sqrt{5a+1}+\sqrt{5b+1}+\sqrt{5c+1}\)(\(A\ge0\))
<=> \(A^2=\left(\sqrt{5a+1}+\sqrt{5b+1}+\sqrt{5c+1}\right)^2\)
Áp dụng bđt bunhiacopski có:
\(\left(1.\sqrt{5a+1}+1.\sqrt{5b+1}+1.\sqrt{5c+1}\right)^2\le\left(1+1+1\right)\left(5a+1+5b+1+5c+1\right)\)
<=> \(A^2\le3\left(5a+5b+5c+3\right)=3.\left[5\left(a+b+c\right)+3\right]=3\left(5.1+3\right)=24\)(do a+b+c=1)
<=> \(A\le2\sqrt{6}\)
Dấu"=" xảy ra <=> \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Vậy \(A\le2\sqrt{6}\)