chứng minh bất đẳng thức \(\left(ax+by\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
ND
2 tháng 4 2018
Sửa đề:
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(ax+by+cz\right)^2\)
Xét hiệu:
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(ax+by+cz\right)^2\)
\(=a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2-a^2x^2-b^2y^2-c^2z^2-2axby-2axcz-2bycz\)
\(=a^2y^2+a^2z^2+b^2z^2+b^2x^2+c^2y^2+c^2x^2-2axby-2bycz-2axcz\)
\(=\left(a^2y^2-2axby+b^2x^2\right)+\left(a^2z^2-2axcz+c^2x^2\right)+\left(b^2z^2-2bycz+c^2y^2\right)\)
\(=\left(ay-bx\right)^2+\left(az-cx\right)^2+\left(bz-cy\right)^2\ge0\)
=> BĐT luôn đúng
31 tháng 3 2018
Nó là bđt bunyakovsky luôn rồi mà bạn,lên google sẽ có cách chứng minh
KT
30 tháng 3 2018
c) \(\left(ax+by\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(ax\right)^2+2axby+\left(by\right)^2\le\left(ax\right)^2+\left(ay\right)^2+\left(bx\right)^2+\left(by\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(2axby\le\left(ay\right)^2+\left(bx\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(ay\right)^2-2axby+\left(bx\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(ay-bx\right)^2\ge0\) luôn đúng
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)
31 tháng 12 2015
http://olm.vn/hoi-dap/question/58264.html?auto=1
vào đây thAM khảo nhé.
31 tháng 12 2015
cách nhanh nhất là nhân tung ra rồi chuyển vế rút gọn là xong
DK
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 9 2020
Lời giải:
Ta có:
$x^4+y^4+(x+y)^4=(x^4+y^4+2x^2y^2)-2x^2y^2+[(x+y)^2]^2$
$=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+(x^2+2xy+y^2)^2$
$=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+(x^2+y^2)^2+(2xy)^2+4xy(x^2+y^2)$
$=2(x^2+y^2)^2+2x^2y^2+4xy(x^2+y^2)$
$=2[(x^2+y^2)^2+2xy(x^2+y^2)+(xy)^2]$
$=2(x^2+y^2+xy)^2$
Ta có đpcm.
22 tháng 9 2020
\(\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2=\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\)
VT : (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab +2bc + 2ac + a2 + b2 + c2
= ( a2 + 2ab + b2 ) + (b2 + 2bc + c2) + ( a2 + 2ac + c2)
= (a + b)2 + (b + c)2 + (a + c)2 = VP
Vậy \(\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2=\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\)(đpcm)
\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\Leftrightarrow a^2x^2+b^2c^2+a^2y^2+b^2y^2\ge a^2x^2+2axby+b^2y^2\)
\(\Leftrightarrow a^2x^2+b^2x^2+a^2y^2+b^2y^2-a^2x^2-2axby-b^2y^2\ge0\Leftrightarrow a^2y^2-2axby+b^2x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\) luôn đúng!
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)