Cho a,b,c là các số tự nhiên khác 0.Hãy so sánh \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)với số 1
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tính chất tỉ số:
Cho x, y, z > 0; x/y < 1 ta có: x / y < (x+z) / (y+z) (*)
cm:
(*) <=> x(y+z) < y(x+z) <=> xy+xz < yx+yz <=> xz < yz <=> x < y đúng do gt x < y
- - - - -
với các số a, b, c ta có: a < a+b ; b < b+c ; c < c+a
=> a/(a+b) < 1 ; b/(b+c) < 1 ; c/(c+a) < 1; ad (*) ta có:
A = a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+a) < (a+c)/(a+b+c) + (b+a)/(b+c+a) + (c+b)/(c+a+b)
=> A < 2(a+b+c)/(a+b+c) = 2
mặt khác ta có:
A = a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+a) > a/(a+b+c) + b/(b+c+a) + c/(c+a+b)
=> A > (a+b+c)/(a+b+c) = 1
Tóm lại ta có: 1 < A < 2 => A không là số tự nhiên
Do a;b;c và d là các số tự nhiên >0 =>
a + b + c < a + b + c + d
a + b + d < a + b + c + d
a + c + d < a + b + c + d
b + c + d < a + b + c + d
=> a/(a + b + c) > a/(a + b + c + d) (1)
b/(a + b + d) > b/(a + b + c + d) (2)
c/(b + c + d) > c/(a + b + c + d) (3)
d/(a + c + d) > d/(a + b + c + d) (4)
Từ (1);(2);(3) và (4)
=> a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > a/(a + b + c + d) + b/(a + b + c + d) + c/(a + b + c + d) + d/(a + b + c + d)
=> a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > (a + b + c + d)/(a + b + c + d)
=> a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d) > 1
=> B > 1 (*)
Ta có: (a + b + c)(a + d) - a(a + b + c + d)
= a² + ad + ab + bd + ac + cd - (a² + ab + ac + ad)
= a² + ad + ab + bd + ac + cd - a² - ab - ac - ad
= bd + cd
Do a;b;c và d là số tự nhiên >0
=> bd + cd > 0
=> (a + b + c)(a + d) - a(a + b + c + d) > 0
=> (a + b + c)(a + d) > a(a + b + c + d)
=> (a + d)/(a + b + c + d) > a/(a + b + c) (5)
Chứng minh tương tự ta được:
(b + c)/(a + b + c + d) > b/(a + b + d) (6)
(a + c)/(a + b + c + d) > c/(b + c + d) (7)
(b + d)/(a + b + c + d) > d/(a + c + d) (8)
Cộng vế với vế của (5);(6);(7) và (8) ta được:
(a + d)/(a + b + c + d) + (b + c)/(a + b + c + d) + (a + c)/(a + b + c + d) + (b + d)/(a + b + c + d) > a/(a + b + c) + b/(a + b + d) + c/(b + c + d) + d/(a + c + d)
=> (a + d + b + c + a + c + b + d)/(a + b + c + d) > B
=> 2(a + b + c + d)/(a + b + c + d) > B
=> 2 > B (*)(*)
Từ (*) và (*)(*)
=> 1 < B < 2
=> B không phải là số tự nhiên
A = a/a+b+c + b/a+b+d + c/b+c+d + d/a+c+d
A > a/a+b+c+d + b/a+b+c+d + c/a+b+c+d + d/a+b+c+d
A > a+b+c+d/a+b+c+d
A > 1 (1)
Áp dụng a/b < 1 => a/b < a+m/b+m (a,b,m thuộc N*)
A = a/a+b+c + b/a+b+d + c/b+c+d + d/a+c+d
A < a+d/a+b+c+d + b+c/a+b+c+d + a+c/a+b+c+d + d+b/a+b+c+d
A < 2.(a+b+c+d)/a+b+c+d
A < 2 (2)
Từ (1) và (2) => 1 < A < 2
=> A không phải số nguyên ( đpcm)
VD tổng nghịch đâỏ cảu ba số này là 2 thì:
Số lớn nhất là a, số nhỏ nhất là c.
Ta có: c ≤ b ≤ a (1)
Theo giả thiết : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) = 2 (2)
Do (1) nên 2 = \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) ≤ \(\dfrac{3}{c}\)
Vậy c = 1
Thay vào (2) ta dc :\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\) = 1 ≤ \(\dfrac{2}{b}\)
Vậy a = 2 từ đó b = 2
3 số cần tìm là 1; 2; 2.
\(M=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+d}+\frac{c}{a+c+d}+\frac{d}{b+c+d}>\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\)
Chứng minh tương tự để từ đó
=>M<2
Vậy 1<M<2
=> M ko là số tự nhiên
28/29=0,96551.......
mà a, b , c là số tự nhiên nên mình thử ra là 1/2+1/3+1/7 là nhỏ nhất
Tổng nhỏ nhất là 2+3+7=12
M không có giá trị tự nhiên vì để m là số tự nhiên thì các phân số phải là số tự nhiên mà tử số lớn hơn mẫu số nên số đó không phải là số tự nhiên
Vì a,b,c là các số tự nhiên khác 0 nên a,b,c > 0.
Do vậy a < a + b < a + b + c
b < b + c < a + b + c
c < c + a < a + b + c
\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)