Cm rằng vs mọi số nguyên dương n>= 4 ta có: 3^n-1 > n(n+2)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NM
2
13 tháng 6 2017
Với n = 1 thì ta có:
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{13}{12}>1\)
Giả sử bất đẳng thức trên đúng tới n = k hay
\(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{3k+1}>1\)
Ta cần chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1.
Ta có: \(\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+...+\frac{1}{3k+4}\)
\(=\left(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{3k+1}\right)+\left(\frac{1}{3k+2}+\frac{1}{3k+3}+\frac{1}{3k+4}-\frac{1}{k+1}\right)\)
Ta đã có: \(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{3k+1}>1\) nên ta cần chứng minh
\(\frac{1}{3k+2}+\frac{1}{3k+3}+\frac{1}{3k+4}-\frac{1}{k+1}>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{\left(3k+2\right)\left(3k+3\right)\left(3k+4\right)}>0\) đúng
Vậy theo quy nạp thì \(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}>1\) đúng với mọi n nguyên dương.
30 tháng 6 2020
Cho t hỏi sao lại có đoạn \(\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+....+\frac{1}{3k+4}\)tòi ra và phải c/minh nó lớn hơn 0??
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 12 2021
- Với \(n=4\Rightarrow3^3>4.6\) (đúng)
- Giả sử BĐT đã cho đúng với \(n=k\ge4\) hay \(3^{k-1}>k\left(k+2\right)\)
- Ta cần chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\) hay: \(3^k>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\)
Thật vậy, do \(k\ge4\Rightarrow k-3>0\), ta có:
\(3^k=3.3^{k-1}>3k\left(k+2\right)=3k^2+6k=\left(k^2+4k+3\right)+\left(2k^2+2k-3\right)\)
\(=\left(k+1\right)\left(k+3\right)+2k^2+k+\left(k-3\right)>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\) (đpcm)
28 tháng 4 2016
A< 1+1/(23-2)+1/(33-3)+...+1/(n3-n)
Đặt B=1/(23-2)..... =>B=1/1.2.3+1/2.3.4+...+1/(n-1)n(n+1) =1/2.(1/1.2-1/2.3+1/2.3-1/3.4+1/3.4....-1/n(n+1))
=1/2.(1/2-1/n(n+1))=1/4-1/2.n.(n+1)<1/4
=>B<1/4 =>A=B+1<(1/4)+1
=>A<5/4
L
2 tháng 11 2019
Ta có:
\(VT=1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{\left(n+1\right)^2}\)
\(=\frac{n^2\left(n+1\right)^2}{n^2\left(n+1\right)^2}+\frac{\left(n+1\right)^2}{n^2\left(n+1\right)^2}+\frac{n^2}{n^2\left(n+1\right)^2}\)
\(=\frac{n^2\left(n+1\right)^2+\left(n+1\right)^2+n^2}{n^2\left(n+1\right)^2}\)
\(=\frac{\left[n\left(n+1\right)\right]^2+\left(n+1\right)^2+n^2}{n^2\left(n+1\right)^2}\)
\(=\frac{\left[n\left(n+1\right)\right]^2+n^2+2n+1+n^2}{n^2\left(n+1\right)}\left(1\right)\)
\(VP=\frac{\left(n^2+n+1\right)}{n^2\left(n+1\right)^2}\)
\(=\frac{\left[n\left(n+1\right)+1\right]^2}{n^2\left(n+1\right)^2}\)
\(=\frac{\left[n\left(n+1\right)\right]^2+1+2\left[n\left(n+1\right)\right]}{n^2\left(n+1\right)^2}\)
\(=\frac{\left[n\left(n+1\right)\right]^2+1+2\left(n^2+1\right)}{n^2\left(n+1\right)^2}\)
\(=\frac{\left[n\left(n+1\right)\right]^2+1+2n^2+2n}{n^2\left(n+1\right)^2}\)
\(=\frac{\left[n\left(n+1\right)\right]^2+2n+1+2n^2}{n^2\left(n+1\right)^2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)
=>đpcm
L
2 tháng 11 2019
Vì \(\sqrt{x}\)là một số hữu tỉ
\(\Rightarrow\sqrt{x}\)có dạng \(\frac{a}{b}\)(\(\frac{a}{b}\)là một phân số tối giản)
Vì \(\sqrt{x}\ge0\)và theo đề bài \(\frac{a}{b}\ne0\Rightarrow\frac{a}{b}\ge0\)
\(\Rightarrow a,b\)là những số nguyên dương (1)
Vì \(\sqrt{x}\)có dạng \(\frac{a}{b}\Rightarrow\left(\sqrt{x}\right)^2=\left(\frac{a}{b}\right)^2\Rightarrow x=\frac{a^2}{b^2}\)(2)
Vì \(\frac{a}{b}\)là phân số tối giản
\(\Rightarrow a,b\)là hai số nguyên tố cùng nhau
\(\Rightarrow\)ƯCLN(a,b)=1
Vì \(a^2\) có Ư(a), \(b^2\)có Ư(b)
\(\Rightarrow a^2,b^2\) là hai số nguyên tố cùng nhau
\(\Rightarrow\)ƯCLN(\(a^2,b^2\))=1
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}\) là phân số tối giản (3)
Từ (1), (2) và (3)
=>đpcm
Ta chứng minh bằng quy nạp:
- Với \(n=4\) BĐT trở thành \(3^3>4.6\) (đúng)
- Giả sử BĐT đúng với \(n=k\ge4\) hay \(3^{k-1}>k\left(k+2\right)\)
Ta cần chứng minh BĐT cũng đúng với \(n=k+1\)
Hay \(3^k>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\)
Thật vậy, ta có:
\(3^k=3.3^{k-1}>3.k\left(k+2\right)=\left(k+1\right)\left(k+3\right)+2k^2+2k-3\)
Do \(k\ge4\Rightarrow k-3>0\Rightarrow2k^2+2k-3>0\)
\(\Rightarrow\left(k+1\right)\left(k+3\right)+2k^2+2k-3>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\)
\(\Rightarrow3^k>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\) (đpcm)