Question

[Khoa Trần Anh]

tìm các số nguyên dương x,y thỏa mãn:

1/2x+1/2y+1/xy=1/2

Answer 1

[Trần Khánh Linh]

Ta có \(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{2}\)

Mà x và y là số nguyên dương

 \(\Rightarrow\frac{y}{2xy}+\frac{x}{2xy}+\frac{2}{2xy}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{y+x+2}{2xy}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow2.\left(x+y+2\right)=2xy\)

\(\Rightarrow2xy=2x+2y+4\)

\(\Rightarrow2xy-2x-2y=4\)

\(\Rightarrow2x.\left(y-1\right)-2.\left(y-1\right)=4+2\)

\(\Rightarrow\left(2x-2\right).\left(y-1\right)=6\)

Vì x và y là số nguyên dương 

\(\Rightarrow x\ge1\)và \(y\ge1\)

\(\Rightarrow2x-2\ge0\)và \(y-1\ge0\)

Vì x là số nguyên dương => 2x chẵn do đó 2x - 2 chẵn (vì 2 chẵn)

Phân tích 6 thành tích 2 số tự nhiên: \(6=2.3=6.1\)

+) Nếu \(\left(2x-2\right).\left(y-1\right)=2.3\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2x-2=2\\y-1=3\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2x=4\\y=4\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=4\end{cases}}\)

Thử lại:

Với \(x=2\), \(y=4\)ta có: \(\frac{1}{2.2}+\frac{1}{2.4}+\frac{1}{2.4}=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}\)(chọn)

+) Nếu \(\left(2x-2\right).\left(y-1\right)=6.1\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2x-2=6\\y-1=1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2x=8\\y=2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\y=2\end{cases}}\)

Thử lại: 

Với \(x=4\), \(y=2\)ta có: \(\frac{1}{2.4}+\frac{1}{2.2}+\frac{1}{4.2}=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}\)(chọn)

Vậy \(x=2\), \(y=4\);

       \(x=4\), \(y=2\).

BẠN THAM KHẢO QUA NHÉ! CHÚC BẠN HỌC TỐT!!!