Question

[Kate11]

Cho hình chóp S.ABC. Điểm M tuỳ ý trên mặt đáy. Mặt phẳng (P) thay đổi qua M cắt các tia SA,SB,SC tại A’,B’,C’. Xác định vị trí của M để thể tích hình chóp S.A’B’C’ nhỏ nhất Giúp mk vs!!! Pleaseee!

Answer 1

[Quyết Nguyễn]

Để xác định vị trí của M để thể tích hình chóp S.A'B'C' đạt giá trị lớn nhất, ta sử dụng nguyên lý cơ sở của hình học không gian. Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BC. Ta có: - Đường thẳng A'H song song với đường thẳng BC. - Đường thẳng B'H song song với đường thẳng AC. - Đường thẳng C'H song song với đường thẳng AB. Do đó, ta có thể xem hình chóp S.A'B'C' là hình chóp đồng dạng với hình chóp S.ABC, tức là các cạnh của chúng có tỉ lệ tương ứng. Vì vậy, để thể tích hình chóp S.A'B'C' đạt giá trị lớn nhất, ta cần chọn M sao cho tỉ lệ giữa độ dài các đoạn thẳng SA', SB', SC' và độ dài các đoạn thẳng SA, SB, SC là nhỏ nhất. Đặt x = SA'/SA = SB'/SB = SC'/SC. Ta cần tìm giá trị của x để x đạt giá trị nhỏ nhất. Áp dụng định lí Thales, ta có: x = SA'/SA = S'A'/S'A = MA'/MA. Vì A'H song song với BC, ta có: MA'/MA = A'H/AH = A'C'/AC. Tương tự, ta có: MA'/MA = A'H/AH = A'B'/AB. Do đó, ta có: x = SA'/SA = SB'/SB = SC'/SC = A'C'/AC = A'B'/AB. Vậy, để x đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần chọn M sao cho A'C'/AC = A'B'/AB đạt giá trị nhỏ nhất. Từ đó, ta suy ra M nằm trên đường thẳng A'H, với H là trung điểm của đoạn thẳng BC.