chứng minh rằng : với mọi số tự nhiên n các số sau là các số nguyên tố cùng nhau : a) n + 4; n+5 b) 2n +1; 3n +1 c) 2n + 5; n + 2 d) n + 2; 3n +7
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 11 2023
Bài 1: Gọi hai số lẻ liên tiếp là $2k+1$ và $2k+3$ với $k$ tự nhiên.
Gọi $d=ƯCLN(2k+1, 2k+3)$
$\Rightarrow 2k+1\vdots d; 2k+3\vdots d$
$\Rightarrow (2k+3)-(2k+1)\vdots d$
$\Rightarrow 2\vdots d\Rightarrow d=1$ hoặc $d=2$
Nếu $d=2$ thì $2k+1\vdots 2$ (vô lý vì $2k+1$ là số lẻ)
$\Rightarrow d=1$
Vậy $2k+1,2k+3$ nguyên tố cùng nhau.
Ta có đpcm.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 11 2023
Bài 2:
a. Gọi $d=ƯCLN(n+1, n+2)$
$\Rightarrow n+1\vdots d; n+2\vdots d$
$\Rightarrow (n+2)-(n+1)\vdots d$
$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vậy $(n+1, n+2)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau.
b.
Gọi $d=ƯCLN(2n+2, 2n+3)$
$\Rightarrow 2n+2\vdots d; 2n+3\vdots d$
$\Rightarrow (2n+3)-(2n+2)\vdots d$ hay $1\vdots d$
$\Rightarrow d=1$.
Vậy $(2n+2, 2n+3)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau.
17 tháng 10 2021
\(a,\) Gọi \(d=ƯCLN\left(n+1;n+2\right)\)
\(\Rightarrow n+1⋮d;n+2⋮d\\ \Rightarrow n+2-n-1⋮d\\ \Rightarrow1⋮d\\ \Rightarrow d=1\)
Vậy \(ƯCLN\left(n+1;n+2\right)=1\) hay n+1 và n+2 ntcn
\(b,\) Gọi \(d=ƯCLN\left(3n+10;3n+9\right)\)
\(\Rightarrow3n+10⋮d;3n+9⋮d\\ \Rightarrow3n+10-3n-9⋮d\\ \Rightarrow1⋮d\\ \Rightarrow d=1\)
Vậy 3n+10 và 3n+9 ntcn
15 tháng 10 2023
1:
a: Gọi d=ƯCLN(n+5;n+4)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}n+5⋮d\\n+4⋮d\end{matrix}\right.\)
=>\(n+5-n-4⋮d\)
=>\(1⋮d\)
=>d=1
=>n+4 và n+5 là hai số nguyên tố cùng nhau
b: Gọi d=ƯCLN(2n+5;n+2)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}2n+5⋮d\\n+2⋮d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+5⋮d\\2n+4⋮d\end{matrix}\right.\)
=>\(2n+5-2n-4⋮d\)
=>\(1⋮d\)
=>d=1
=>2n+5 và n+2 là hai số nguyên tố cùng nhau
c: Gọi d=ƯCLN(3n+7;n+2)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}3n+7⋮d\\n+2⋮d\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}3n+7⋮d\\3n+6⋮d\end{matrix}\right.\)
=>\(3n+7-3n-6⋮d\)
=>\(1⋮d\)
=>d=1
=>3n+7 và n+2 là hai số nguyên tố cùng nhau
d: Gọi d=ƯCLN(2n+1;3n+1)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}2n+1⋮d\\3n+1⋮d\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}6n+3⋮d\\6n+2⋮d\end{matrix}\right.\)
=>\(6n+3-6n-2⋮d\)
=>\(1⋮d\)
=>d=1
=>2n+1 và 3n+1 là hai số nguyên tố cùng nhau
H9
HT.Phong (9A5)
CTVHS
15 tháng 10 2023
a) Gọi d là ƯCLN của n + 4 và n + 5
⇒ n + 4 ⋮ d và n + 5 ⋮ d
⇒ (n + 5 - n - 4) ⋮ d
⇒ 1 ⋮ d
⇒ d = 1
Vậy n + 4 và n + 5 luôn là cặp SNT cùng nhau
b) Gọi d là ƯCLN của 2n + 5 và n + 2
⇒ 2n + 5 ⋮ d và n + 2 ⋮ d
⇒ 2n + 5 ⋮ d và 2(n + 2) ⋮ d
⇒ (2n + 5 - 2n - 4) ⋮ d
⇒ 1 ⋮ d
⇒ d = 1
Vậy 2n + 5 và n + 2 luôn là cặp SNT cùng nhau
c) Gọi d là ƯCLN của n + 2 và 3n + 7
⇒ n + 2 ⋮ d và 3n + 7 ⋮ d
⇒ 3(n + 2) ⋮ d và 3n + 7 ⋮ d
⇒ (3n + 7 - 3n - 6) ⋮ d
⇒ 1 ⋮ d
⇒ d = 1
Vậy n + 2 và 3n + 7 luôn là cặp SNT cùng nhau
d) Gọi d là ƯCLN của 2n + 1 và 3n + 1
⇒ 2n + 1 ⋮ d và 3n + 1 ⋮ d
⇒ 3(2n + 1) ⋮ d và 2(3n + 1) ⋮ d
⇒ (6n + 3 - 6n - 2) ⋮ d
⇒ 1 ⋮ d
⇒ d = 1
Vậy 2n + 1 và 3n + 1 luôn là cặp SNT cùng nhau
26 tháng 9 2023
Gọi d là ước chung lớn nhất của 2 số. Nhiệm vụ của ta là chứng minh d=1.
a) 2n+3, n+2 \(⋮d\)
\(\Rightarrow\left(2n+3\right)-\left(n+2\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\)
b) n+1, 3n+4
\(\Rightarrow\left(3n+4\right)-3\left(n+1\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\)
c) 2n+3, 3n+4
\(\Rightarrow3\left(2n+3\right)-2\left(3n+4\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\)
26 tháng 9 2023
𝓪, 𝓖𝓸̣𝓲 𝓤̛𝓒𝓛𝓝\(\left(2n+3,n+2\right)=d\)
\(\Rightarrow2n+3⋮d\)
\(\Rightarrow n+2⋮d\Rightarrow2.\left(n+2\right)⋮d\Rightarrow2n+4⋮d\)
\(\Rightarrow2n+4-2n+3⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
\(\Rightarrow\)𝓤̛𝓒𝓛𝓝\(\left(2n+3,n +2\right)=1\)
𝓥𝓪̣̂𝔂 \(2n+3,n+2\) 𝓵𝓪̀ 𝓱𝓪𝓲 𝓼𝓸̂́ 𝓷𝓰𝓾𝔂𝓮̂𝓷 𝓽𝓸̂́ 𝓬𝓾̀𝓷𝓰 𝓷𝓱𝓪𝓾
NT
0
gọi ước chung lớn nhất của n+4; n+5 là k ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}n+4⋮k\\n+5⋮k\end{matrix}\right.\)
⇔ n+5 - n - 4 ⋮ k ⇔ 1 ⋮ k
⇔(n+4;n+5) = 1
hay n + 4 và n + 5 là hai số nguyên tố cùng nhau
b, gọi ước chung lớn nhất của 2n + 1 và 3n + 1 là k
ta có \(\left\{{}\begin{matrix}2n+1⋮k\\3n+1⋮k\end{matrix}\right.\)
⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}6n+3⋮k\\6n+2⋮k\end{matrix}\right.\)
⇔ 6n + 3 - 6n - 2 ⋮ k
⇔1 ⋮ k
⇔(2n+1; 3n +1)=1
hay 2n + 1 và 3n + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau
c, gọi ước chung lớn nhất của 2n + 5 và n + 2 là k ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}2n+5⋮k\\n+2⋮k\end{matrix}\right.\)
⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}2n+5⋮k\\2n+4⋮k\end{matrix}\right.\)
⇔ 2n + 5 - 2n - 4 ⋮ k
⇔ 1 ⋮ k
⇔ (2n+ 5 ,n+2)=1
hay 2n + 5 và n + 2 là hai số nguyên tố cùng nhau
d, gọi ước chung của n+2; 3n + 7 là k
ta có \(\left\{{}\begin{matrix}n+2⋮k\\3n+7⋮k\end{matrix}\right.\)
⇔\(\left\{{}\begin{matrix}3n+6⋮k\\3n+7⋮k\end{matrix}\right.\)
⇔ 3n+7 - 3n -6 ⋮ k
⇔ 1 ⋮ k
⇔(n+2, 3n+7)=1
hay n +2 và 2n + 7 là các số nguyên tố cùng nhau