(1+\(\frac{1}{a}\))(1+\(\frac{1}{b}\))>=9 . vs a,b dương và a+b=1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KN
14 tháng 12 2019
b)Ta có: \(a^{2000}+b^{2000}=a^{2001}+b^{2001}\)
\(\Rightarrow a^{2001}+b^{2001}\)\(-a^{2000}-b^{2000}=0\)
\(\Rightarrow a^{2000}\left(a-1\right)+b^{2000}\left(b-1\right)=0\)(1)
và \(a^{2001}+b^{2001}=a^{2002}+b^{2002}\)
\(\Rightarrow a^{2002}+b^{2002}\)\(-a^{2001}-b^{2001}=0\)
\(\Rightarrow a^{2001}\left(a-1\right)+b^{2001}\left(b-1\right)=0\)(2)
Lấy (2) - (1), ta được: \(a^{2000}\left(a-1\right)^2+b^{2000}\left(b-1\right)^2=0\)(3)
Mà \(a^{2000}\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\)và \(b^{2000}\left(b-1\right)^2\ge0\forall b\)
nên (3) xảy ra\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^{2000}\left(a-1\right)^2=0\\b^{2000}\left(b-1\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1hoaca=0\\b=1hoacb=0\end{cases}}\)
Mà a,b dương nên a = 1 và b = 1
KN
14 tháng 12 2019
a) Áp dụng BĐT Svac - xơ:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=9\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\))
PN
8 tháng 8 2020
đây là 1 sự nhầm lẫn đối với các bạn nhác tìm dấu = :))
Sử dụng BĐT Svacxo ta có :
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\)
\(=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{18}{2ab+2bc+2ca}\ge\frac{\left(1+\sqrt{18}\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\)
\(=\frac{19+\sqrt{72}}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{25\sqrt{2}}{1}=25\sqrt{2}\)
bài làm của e :
Áp dụng BĐT Svacxo ta có :
\(Q\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\)
Theo hệ quả của AM-GM thì : \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
\(< =>\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{7}{\frac{1}{3}}=21\)
Tiếp tục sử dụng Svacxo thì ta được :
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+21=30\)
Vậy \(Min_P=30\)đạt được khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
T
8 tháng 8 2020
Và đương nhiên cách bạn dcv_new chỉ đúng với \(k\ge2\) ở bài:
https://olm.vn/hoi-dap/detail/259605114604.html
Thực ra bài Min \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\) khi a + b + c = 1
chỉ là hệ quả của bài \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{k}{ab+bc+ca}\) khi \(a+b+c\le1\)
Ngoài ra nếu \(k< 2\) thì min là: \(\left(1+\sqrt{2k}\right)^2\)
TT
2
6 tháng 5 2019
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3.\sqrt[3]{abc}.\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}=9\)
Dấu " = " xảy ra < = > a=b=c
RR
14 tháng 5 2018
Ta có : \(a^2+\frac{1}{9}\ge\frac{2}{3}a\)
Suy ra
\(VT\le\Sigma\left(\frac{a}{\left(a^2+1\right)}\right)\le\Sigma\frac{a}{\frac{2}{3}a+\frac{8}{9}}=\Sigma\frac{9a}{6a+8}=\frac{9}{2}-\Sigma\frac{6}{4+3a}\le\frac{9}{2}-\frac{54}{12+3\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{10}\)
Đẳng thức xảy ra <=> \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
T
10 tháng 2 2019
Cách khác nhá.
Lời giải
Ta sẽ c/m:\(\frac{a}{a^2+1}\le\frac{18}{25}a+\frac{3}{50}\)
Thật vậy,ta có: BĐT \(\Leftrightarrow\frac{a}{a^2+1}-\frac{18}{25}a-\frac{3}{50}\le0\)
Thật vậy:\(VT=\frac{-\left(4a+3\right)\left(3a-1\right)^2}{50\left(a^2+1\right)}\le0\forall x\)
Vậy \(\frac{a}{a^2+1}\le\frac{18}{25}a+\frac{3}{50}\).Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế:
\(VT\le\frac{18}{25}\left(a+b+c\right)+\frac{9}{50}=\frac{9}{10}^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
bẫy nữa chăng
Theo bài ra , ta có :
\(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\ge9\left(1\right)\) và \(a+b=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+1}{a}.\frac{b+1}{b}\ge9\)
\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\ge9ab\)
\(\Leftrightarrow ab+a+b+1\ge9ab\)( Vì ab > 0 )
\(\Leftrightarrow a+b+1\ge8ab\)
\(\Leftrightarrow2\ge8ab\)( Vì a + b = 1 )
\(\Leftrightarrow1\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)( Vì a + b = 1 )
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge0\)(2)
BĐT (2) đúng , mà các phép biến đổi trên là tương đương , vậy BĐT (1) đúng với mọi a,b
=) đpcm
Dấu "=" xảy ra (=) a = b
Chúc bạn học tốt =))