Question

[Phạm Hà Thiên Hải]

Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC), nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD,BE,CF của tam giác ABC đồng quy tại trực tâm H. Gọi K,Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với hai đường thẳng AH, AO. 

1) Chứng minh Góc AQE=90 độ

2) Gọi I là trung điểm của AH. Chứng minh IE²=IK*ID

3) Gọi R,J lần lượt là trung điểm của của BE, CF. Chứng minh JR vuông góc với QD

Answer 1

[Phong Nguyễn]

a) Vì tứ giác BFEC nội tiếp nên $\widehat{PFB}=\widehat{ACB}=\widehat{PBF}$ suy ra $PF=PB$

Suy ra $MP\perp AB$ vì MP là trung trực của BF. Do đó $MP||CF$. Tương tự $MQ||BE$

b) Dễ thấy M,I,J đều nằm trên trung trực của EF cho nên chúng thẳng hàng. Vậy IJ luôn đi qua M cố định.

c) Gọi FK cắt AD tại T ta có $FK\perp AD$ tại T. Theo hệ thức lượng $I{E}^2=I{F}^2=IT.IL$

Suy ra $\Delta TIE\Delta EIL$. Lại dễ có $EI\perp EM$, suy ra ITKE nội tiếp

Do vậy $\widehat{ILE}=\widehat{IET}=\widehat{IKT}=90^0-\widehat{LIK}$. Vậy $IK\perp EL.$

Thu gọn

 Đúng(1)