cho s =1/2022.(2/1+3/2+4/3+5/4+...+2023/2022).chứng minh rằng s không phải là số tự nhiên
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DM
1
BT
19 tháng 7 2023
Để chứng tỏ rằng dãy giá trị 2/3^3, 3/4^3, 4/5^3, ..., 2021/2022^3, 2022/2023^3 không phải là số tự nhiên, chúng ta có thể sử dụng phương pháp giả sử đối chứng.
Giả sử rằng dãy giá trị này là số tự nhiên, tức là tất cả các phần tử trong dãy đều là các số tự nhiên. Ta xem xét phần tử cuối cùng của dãy, tức là 2022/2023^3.
Nếu 2022/2023^3 là số tự nhiên, thì 2022/2023^3 + 1 cũng phải là số tự nhiên.
Tuy nhiên, nếu ta tính giá trị của biểu thức 2022/2023^3 + 1,
ta sẽ có: 2022/2023^3 + 1 = (2022 + 2023^3) / 2023^3
Với các giá trị số học, ta biết rằng tỷ số của hai số nguyên không thể tạo ra một số nguyên khác. Do đó, biểu thức trên không thể là số tự nhiên.
Vậy, ta có thể kết luận rằng dãy giá trị 2/3^3, 3/4^3, 4/5^3, ..., 2021/2022^3, 2022/2023^3 không phải là số tự nhiên.
11 tháng 5 2023
Ta có thể viết lại M dưới dạng:
M = (1/2³) + (2/3³ - 1/2³) + (3/4³ - 2/3³) + … + (2022/2023³ - 2021/2022³)
= (1/2³) + [(2/3³ - 1/2³) + (3/4³ - 2/3³)] + … + [(2022/2023³ - 2021/2022³) + (2023/2024³ - 2022/2023³)]
= (1/2³) + (1/3³ - 1/2³) + … + (1/2023³ - 1/2022³)
= 1/2³ + (1/2³ - 1/3³) + (1/3³ - 1/4³) + … + (1/2022³ - 1/2023³)
Ta sử dụng kết quả sau đây: Với mọi số nguyên dương n, ta có
1/n³ > 1/(n+1)³
Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng đạo hàm hoặc khai triển. Do đó,
1/2³ > 1/3³
1/3³ > 1/4³
…
1/2022³ > 1/2023³
Vậy ta có
M = 1/2³ + (1/2³ - 1/3³) + (1/3³ - 1/4³) + … + (1/2022³ - 1/2023³) < 1/2³ + 1/3³ + 1/4³ + … + 1/2023³
Để chứng minh rằng M không phải là một số tự nhiên, ta sẽ chứng minh rằng tổng các số mũ ba nghịch đảo từ 1 đến 2023 không phải là một số tự nhiên. Điều này có thể được chứng minh bằng phương pháp giả sử ngược lại và dẫn đến mâu thuẫn.
Giả sử tổng các số mũ ba nghịch đảo từ 1 đến 2023 là một số tự nhiên, ký hiệu là S. Ta có:
S = 1/1³ + 1/2³ + 1/3³ + … + 1/2023³
Với mọi số nguyên dương n, ta có:
1/n³ < 1/n(n-1)
Do đó,
1/1³ < 1/(1x2)
1/2³ < 1/(2x3)
1/3³ < 1/(3x4)
...
1/2023³ < 1/(2023x2024)
Tổng các số hạng bên phải có thể được viết lại dưới dạng:
1/(1x2) + 1/(2x3) + 1/(3x4) + … + 1/(2023x2024) = (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + … + (1/2023 - 1/2024) = 1 - 1/2024 < 1
Vậy tổng các số mũ ba nghịch đảo từ 1 đến 2023 cũng nhỏ hơn 1. Điều này mâu thuẫn với giả sử ban đầu rằng tổng này là một số tự nhiên. Do đó, giá trị của M không phải là một số tự nhiên.
25 tháng 3 2023
4,
Gọi ƯCLN của ( 5n+7, 7n+10) = d
Ta có:
5n+7 ⋮ d
7n+10 ⋮ d
=> 7.(5n+7) ⋮ d
5.(7n+10) ⋮ d
=> 35n + 49 ⋮ d
35n + 50 ⋮ d
=> 35n + 50 - (35n + 49) ⋮ d
=> 1 ⋮ d
=> d=1
Vậy phân số 5n+7/ 7n+10 là phân số tối giản (đpcm)
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
18 tháng 3 2022
Ta có: \(\frac{2022}{2021^2+k}\le\frac{2022}{2021^2}\) (với \(k\)là số tự nhiên bất kì)
Ta có:
\(A=\frac{2022}{2021^2+1}+\frac{2022}{2021^2+2}+...+\frac{2022}{2021^2+2021}\)
\(\le\frac{2022}{2021^2}+\frac{2022}{2021^2}+...+\frac{2022}{2021^2}=\frac{2022}{2021^2}.2021=\frac{2022}{2021}\)
Ta có: \(\frac{2022}{2021^2+k}>\frac{2022}{2021^2+2021}=\frac{2022}{2021.2022}=\frac{1}{2021}\)với \(k\)tự nhiên, \(k< 2021\))
Suy ra \(A=\frac{2022}{2021^2+1}+\frac{2022}{2021^2+2}+...+\frac{2022}{2021^2+2021}\)
\(>\frac{1}{2021}+\frac{1}{2021}+...+\frac{1}{2021}=\frac{2021}{2021}=1\)
Suy ra \(1< A\le\frac{2022}{2021}\)do đó \(A\)không phải là số tự nhiên.
27 tháng 3 2023
Giả sử tất cả các số đã cho đều lẻ
=>Quy đồng, ta được:
\(A=\dfrac{\left(a_2\cdot a_3\cdot...\cdot a_{2022}\right)+\left(a_1\cdot a_3\cdot...\cdot a_{2021}\cdot a_{2022}\right)+...+\left(a_1\cdot a_2\cdot...\cdot a_{2021}\right)}{a_1\cdot a_2\cdot...\cdot a_{2022}}=1\)
Tử có 2022 số hạng, mẫu là số lẻ
=>A là số chẵn khác 1
=>Trái GT
=>Phải có ít nhất 1 số là số chẵn
25 tháng 12 2022
Ta có \(4A=2^2+2^4+2^6+2^8...+2^{2024}\)
Từ đó \(3A=4A-A=\left(2^2+2^4+...+2^{2024}\right)-\left(1+2^2+...+2^{2022}\right)\)
\(=2^{2024}-1\)
Mà \(2B=2^{2024}\)
Từ đó dễ dàng suy ra được \(3A\) và \(2B\) là 2 số liên tiếp.
TG
25 tháng 12 2022
Có 7 số tự nhiên được chọn sao cho tổng của hai số bất kì trong các số đó đều chia hết cho 7. Hỏi trong các số đó, có bao nhiêu số chia hết cho 7?
\(s=\dfrac{1}{2022}\left(\dfrac{2}{1}+\dfrac{3}{2}+\dfrac{4}{3}+\dfrac{5}{4}+...+\dfrac{2023}{2022}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2022}\left(1+\dfrac{1}{1}+1+\dfrac{1}{2}+1+\dfrac{1}{3}+1+\dfrac{1}{4}+1+\dfrac{1}{5}+...+1+\dfrac{1}{2022}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2022}\left(2022+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{2022}\right)\)
\(=1+\dfrac{1}{2022}\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{2022}\right)\)
Ta có:
\(=1< 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{2022}< 2022\)
Nên \(0< \dfrac{1}{2022}\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{2022}\right)< 1\)
Suy ra:
\(1< 1+\dfrac{1}{2022}\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{2022}\right)< 2\)
Hay \(1< S< 2\)
Dễ thấy S không phải là số tự nhiên (đpcm)