Tìm tất cả các số tự nhiên x,y để $4^x 5^y$là số chính phương

LC

Lê Chí Cường

23 tháng 12 2016 - olm

Tìm tất cả các số tự nhiên x,y để $4^x+5^y$là số chính phương

#Toán lớp 9

0

TQ

Trương Quang Bảo

23 tháng 12 2016 - olm

Tìm tất cả các số tự nhiên x,y sao cho $2^x+5^y$là một số chính phương

#Toán lớp 9

1

PT

Phan Thị Như Quỳnh

9 tháng 3 2022

Đặt $a^{2} = 2^{x} + 5^{y}$

-Nếu x=0 $\Rightarrow 1 + 5^{y} = a^{2} \Rightarrow 5^{y} = (a - 1) (a + 1) \Rightarrow {\begin{matrix} a + 1 = 5^{m} \\ a - 1 = 5^{n} \end{matrix} (m, n \in N, m + n = y, m > n) \Rightarrow 2 = 5^{m} - 5^{n} = 5^{n} (5^{m - n} - 1)$

Nếu n=0 $\to 5^{m} - 1 = 2 \Rightarrow 5^{m} = 3$ (vô lý)

Nếu n $\neq 0$ thì vế phải chia hết cho 5, vế trái không chia hết cho 5 $\to$ loại

Tương tự, thử lần lượt x=1;2;3 để tìm nghiệm.

-Nếu x>3

+) Với y lẻ: Đặt y=2k+1 (k $\in$ N). Ta có: $a^{2} = 2^{x} + 5^{2 k + 1} \equiv 0 + 25^{k} .5 \equiv 1^{k} .5 = 5$ (mod 8) $\Rightarrow$ $a^{2}$ không là số chính phương $\to$ loại.

+) Với y chẵn: Đặt y=2k (k $\in$ N) $\Rightarrow 2^{x} + 5^{2 k} = a^{2} \Rightarrow 2^{x} = (a - 5^{k}) (a + 5^{k}) \Rightarrow {\begin{matrix} a + 5^{k} = 2^{b} \\ a - 5^{k} = 2^{c} \end{matrix} (b, c \in N, b + c = x, b > c) \Rightarrow {2.5}^{k} = 2^{b} - 2^{c} = 2^{c} (2^{b - c} - 1) \Rightarrow 2^{b} = 2 \Rightarrow b = 1 \Rightarrow 2^{c - 1} - 1 = 5^{k} \Rightarrow 2^{c - 1} = 5^{k} + 1 \equiv 1^{k} + 1 = 2$ (mod 4) $\Rightarrow 2^{c - 1} = 2 \Rightarrow c = 2 \Rightarrow x = 2 + 1 = 3$ (loại, vì x>3)

Đúng(0)

L

Linh_Chi_chimte

22 tháng 4 2018 - olm

1.Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x;y) thỏa mãn phương trình: $\left(x+1\right)^4-\left(x-1\right)^4=y^3$

2. Tìm tất cả các số nguyên tố p để 2p+1 là lập phương của 1 số tự nhiên

#Toán lớp 9

1

RC

ɱ√ρ︵★bĭ ¢ồ★ ღиɢυуễи⁀ᶦᵈᵒᶫ

22 tháng 4 2018

2,Giải:

♣ Ta thấy p = 2 thì 2p + 1 = 5 không thỏa = n³

♣ Nếu p > 2 => p lẻ (Do Số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 )
Mặt khác : 2p + 1 là 1 số lẻ => n³ là một số lẻ => n là một số lẻ

=> 2p + 1 = (2k + 1)³ ( với n = 2k + 1 )
<=> 2p + 1 = 8k³ + 12k² + 6k + 1
<=> p = k(4k² + 6k + 3)

=> p chia hết cho k
=> k là ước số của số nguyên tố p.

Do p là số nguyên tố nên k = 1 hoặc k = p

♫ Khi k = 1
=> p = (4.1² + 6.1 + 3) = 13 (nhận)

♫ Khi k = p
=> (4k² + 6k + 3) = (4p² + 6p + 3) = 1
Do p > 2 => (4p² + 6p + 3) > 2 > 1
=> không có giá trị p nào thỏa.

Đáp số : p = 13