Question

[Nguyễn Ngọc Anh]

Cho tam giác ABC cân tại A (A>90 độ), trên cạnh BC lấy 2 điểm D và E sao cho BD=DE=EC. kẻ BH vuông góc AD, CK vuông góc AE ( H ∈ AD ,K ∈ AE). BH cắt CK tại G.

a) Chứng minh tam giác ADE cân.

b) Chứng minh BH=CK.

c) Gọi M là trung điểm của BC , chứng minh : A,M,G thẳng hàng.

d) Chững minh :AC>AD.

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

a/ 

Xét tg ABD và tg ACE có

tg ABC cân tại A (gt) => AB=AC; \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (góc ở đáy tg cân)

BD=CE (gt)

=> tg ABD = tg ACE (c.g.c) => AD=AE => tg ADE cân tại A

b/

Xét tg vuông ABH và tg vuông ACK có

AB=AC (cmt)

tg ABD = tg ACE (cmt) \(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{CAK}\)

=> tg ABH = tg ACK (Hai tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau) => BH=CK

c/

Nối A với M, xét tg cân ABC có

BM=CM (gt) => AM là trung tuyến thuộc BC của tg ABC

\(\Rightarrow AM\perp BC\) (1) (trong tg cân đường trung tuyến xp từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao)

Nối G với M ta có

tg ABH = tg ACK (cmt) \(\Rightarrow\widehat{ABH}=\widehat{ACK}\)

tg ABD = tg ACE (cmt) \(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)

Mà \(\widehat{GBC}=\widehat{ABH}-\widehat{ABD};\widehat{GCB}=\widehat{ACK}-\widehat{ACE}\)

\(\Rightarrow\widehat{GBC}=\widehat{GCB}\) => tg GBC cân tại G

Ta có BM=CM (gt) => GM là đường trung tuyến thuộc BC của tg ABC)

\(\Rightarrow GM\perp BC\) (2) (trong tg cân đường trung tuyến xp từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AM\equiv GM\) (từ 1 điểm chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho) => A; M; G thẳng hàng

d/

Xét tg vuông ABM có 

\(AB=\sqrt{AM^2+BM^2}\) (Pitago)

Xét tg vuông ADM có

\(AD=\sqrt{AM^2+DM^2}\) (Pitago)

Mà BM>DM => AB>AD mà AB=AC => AC>AD