\(\frac{1}{\left(x+1\right)^2}+\frac{1}{\left(y+1\right)^2}\ge\frac{1}{xy+1}\)
biết x,y dương. cm
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 2 2020
\(\Leftrightarrow\frac{x^2+y^2+2x+2y+2}{\left(1+x+y+xy\right)^2}\ge\frac{1}{1+xy}\)
\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left[\left(x-y\right)^2+2\left(xy+x+y+1\right)\right]\ge\left(1+x+y+xy\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left(x-y\right)^2+\left(1+x+y+xy\right)\left(2+2xy-1-x-y-xy\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left(x-y\right)^2+\left(xy+1+x+y\right)\left(xy+1-x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left(x-y\right)^2+\left(xy+1\right)^2-\left(x+y\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+xy\left(x-y\right)^2+x^2y^2+1-x^2-y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow xy\left(x-y\right)^2+\left(xy-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
6 tháng 4 2016
Do x, y >0 nên bất đẳng thức tương đương với :
\(\left[\left(1+x\right)^2+\left(1+y\right)^2\right]\left(1+xy\right)\ge\left(1+x\right)^2\left(1+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(2+2x+2y+x^2+y^2\right)\left(1+xy\right)\ge\left(1+2x+x^2\right)\left(1+2y+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow xy\left(x-y\right)^2+\left(xy-1\right)^2\ge0\)
Bất đẳng thức này luôn đúng
Dấu bằng xảy ra khi x=y=1
TN
27 tháng 8 2017
Từ \(xy+yz+xz=xyz\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
Đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\rightarrow\left(a,b,c\right)\) thì có
\(\frac{c^3}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{b^3}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{a^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{1}{16}\)\(\forall\hept{\begin{cases}a+b+c=1\\a,b,c>0\end{cases}}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{b+1}{64}+\frac{c+1}{64}\ge\frac{3a}{16}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế
\(VT+\frac{2\left(a+b+c+3\right)}{64}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{16}\Leftrightarrow VT\ge\frac{1}{16}\)
Khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=1\)
B
24 tháng 8 2017
a) x4+x3+2x2+x+1=(x4+x3+x2)+(x2+x+1)=x2(x2+x+1)+(x2+x+1)=(x2+x+1)(x2+1)
b)a3+b3+c3-3abc=a3+3ab(a+b)+b3+c3 -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)((a+b)2-(a+b)c+c2)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-ab+c2-3ab)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c
a+b+c=x-y-z+z-x=o
đưa về như bài b
d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung
e)x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)=x2(y-z)-y2((y-z)+(x-y))+z2(x-y)
=x2(y-z)-y2(y-z)-y2(x-y)+z2(x-y)=(y-z)(x2-y2)-(x-y)(y2-z2)=(y-z)(x2-2y2+xy+xz+yz)
