Cho x,y \(\in\) Q. Chứng minh rằng |x + y| \(\le\) |x| + |y|
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
0
TN
15 tháng 1 2018
C.hóa \(x+y=1\) và dùng C-S:
\(VT^2\le\frac{2x}{\left(y+1\right)^2}+\frac{2y}{\left(x+1\right)^2}\le\frac{8}{9}=VP^2\)
\(BDT\Leftrightarrow\frac{x}{\left(2-x\right)^2}+\frac{y}{\left(2-y\right)^2}\le\frac{4}{9}\left(1\right)\)
Ta có BĐT phụ \(\frac{x}{\left(2-x\right)^2}\le\frac{20}{27}x-\frac{4}{27}\)
\(\Leftrightarrow-\frac{\left(2x-1\right)^2\left(5x-16\right)}{27\left(x-2\right)^2}\le0\) *Đúng*
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:
\(VT_{\left(1\right)}\le\frac{20}{27}\left(x+y\right)-\frac{4}{27}\cdot2=\frac{4}{9}=VP_{\left(1\right)}\)
"=" khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
S
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 3 2021
Bạn tham khảo lời giải tại đây:
https://hoc24.vn/cau-hoi/voi-0-xy-dfrac12-chung-minhdfracsqrtxy1dfracsqrtyx1-dfrac2sqrt23.461470553384
NT
2
NN
21 tháng 4 2017
Xét \(\left(x^{2012}+y^{2012}\right)-\left(x^{2011}+y^{2011}\right)\)
\(=x^{2011}\left(x-1\right)+y^{2011}\left(y-1\right)\)
\(=x^{2011}\left(1-y\right)+y^{2011}\left(y-1\right)\) (do \(x-1=1-y\))
\(\Leftrightarrow\left(x^{2012}+y^{2012}\right)-\left(x^{2011}+y^{2011}\right)=\left(1-y\right)\left(x^{2011}-y^{2011}\right)\)
+ Giả sử \(x\ge y\Rightarrow x^{2011}\ge y^{2011}\) và \(x\ge1\ge y\)
Do đó \(\left(1-y\right)\left(x^{2011}-y^{2011}\right)\ge0\) (Đpcm)
+ Tương tự nếu \(y\ge x\Rightarrow y^{2011}\ge x^{2011}\) và \(y\ge1\ge x\)
Do đó \(\left(1-y\right)\left(x^{2011}-y^{2011}\right)\ge0\) (Đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
27 tháng 12 2022
Xét \left(x^{2012}+y^{2012}\right)-\left(x^{2011}+y^{2011}\right)(x2012+y2012)−(x2011+y2011)
=x^{2011}\left(x-1\right)+y^{2011}\left(y-1\right)=x2011(x−1)+y2011(y−1)
=x^{2011}\left(1-y\right)+y^{2011}\left(y-1\right)=x2011(1−y)+y2011(y−1) (do x-1=1-yx−1=1−y)
\Leftrightarrow\left(x^{2012}+y^{2012}\right)-\left(x^{2011}+y^{2011}\right)=\left(1-y\right)\left(x^{2011}-y^{2011}\right)⇔(x2012+y2012)−(x2011+y2011)=(1−y)(x2011−y2011)
+ Giả sử x\ge y\Rightarrow x^{2011}\ge y^{2011}x≥y⇒x2011≥y2011 và x\ge1\ge yx≥1≥y
Do đó \left(1-y\right)\left(x^{2011}-y^{2011}\right)\ge0(1−y)(x2011−y2011)≥0 (Đpcm)
+ Tương tự nếu y\ge x\Rightarrow y^{2011}\ge x^{2011}y≥x⇒y2011≥x2011 và y\ge1\ge xy≥1≥x
Do đó \left(1-y\right)\left(x^{2011}-y^{2011}\right)\ge0(1−y)(x2011−y2011)≥0 (Đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1x=y=1
HN
1
12 tháng 2 2018
a) Với mọi x,y∈Q, ta luôn luôn có:
x ≤ |x| và − x ≤ |x| ; y ≤ |y| và − y <_|y|
Suy ra x+y ≤ |x|+|y| và −x−y ≤ |x|+|y|
hay x+y≥ − (|x|+|y|) x + y
Do đó −(|x|+|y|) ≤ x+y ≤|x|+|y|
Vậy |x+y| ≤ |x|+|y|
Cả 2 vế của bất đẳng thức không âm nên bình phương 2 vế ta được:
|x + y|2 ≤ (|x| + |y|)2
<=> (x+y)(x+y) ≤(|x| + |y|). (|x| + |y|)
<=> x2 + 2xy + y2 ≤ x2 + 2.|x| . |y| + y2
<=> xy ≤ |xy|
Vậy |x + y| ≤ |x| + |y| (dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\) x và y cùng dấu)