Cho x,y,z>0 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
25 tháng 8 2019
Lời giải :
\(P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow P+3=\frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{z+x}+1+\frac{z}{x+y}+1\)
\(\Leftrightarrow P+3=\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{z+x}+\frac{x+y+z}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow P+3=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(P+3\right)=\left(x+y+y+z+z+x\right)\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\right)\)
Áp dụng BĐT Cô-si :
\(\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)\ge3\sqrt[3]{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}}\)
Do đó :
\(2\left(P+3\right)\ge\frac{3\sqrt[3]{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\cdot3\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}}\)
\(\Leftrightarrow2P+6\ge9\)
\(\Leftrightarrow P\ge\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
___
p/s: BĐT còn gọi là BĐT Nesbitt. Có nhiều cách chứng minh, bạn có thể lên gg tìm hiểu.
5 tháng 2 2020
xin thêm 1 cách
Đặt \(\hept{\begin{cases}a=y+z>0\\b=z+x>0\\c=x+y>0\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{b+c-a}{2}\\y=\frac{a+c-b}{2}\\z=\frac{a+b-c}{2}\end{cases}}\)Thay vào P ta được:
\(P=\frac{b+c-a}{2a}+\frac{a+c-b}{2b}+\frac{a+b-c}{2c}\)
\(=\frac{b}{2a}+\frac{c}{2a}-\frac{1}{2}+\frac{a}{2b}+\frac{c}{2b}-\frac{1}{2}+\frac{a}{2c}+\frac{b}{2c}-\frac{1}{2}\)
\(=\left(\frac{b}{2a}+\frac{a}{2b}\right)+\left(\frac{c}{2a}+\frac{a}{2c}\right)+\left(\frac{b}{2c}+\frac{c}{2b}\right)-\frac{3}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{b}{2a}+\frac{a}{2b}\ge2\sqrt{\frac{b}{2a}.\frac{a}{2b}}=1\)
CMTT\(P\ge3-\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{3}{2}\)
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
E
22 tháng 5 2017
áp dụng BĐT Cauchy ta có
\(\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y+2z}{9}+\frac{1}{3}>=3\sqrt[3]{\frac{x^3}{y+2z}.\frac{\left(y+2z\right)}{9}.\frac{1}{3}}=x\)
\(=>\frac{x^3}{y+2z}>=x-\frac{y+2z}{9}-\frac{1}{3}\)
Tương tự \(\frac{y^3}{z+2x}>=y-\frac{z+2x}{9}-\frac{1}{3}\),\(\frac{z^3}{x+2y}>=z-\frac{x+2y}{9}-\frac{1}{3}\)
\(=>P>=\left(x+y+z\right)-\frac{3\left(x+y+z\right)}{9}-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)\)
Mà x+y+z=3
\(=>P>=3-1-1=1\)
=>Min P=1
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
NN
27 tháng 2 2020
\(B=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{x+y}\)
Áp dụng BĐT cô si:
\(\frac{x^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{x+y}.\frac{x+y}{4}}=x\)
CMTT: \(\frac{y^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge y\)
\(\frac{z^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge z\)
Cộng vế với vế ta được:
\(\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{x+z}+\frac{x+y}{4}+\frac{y+z}{4}+\frac{x+z}{4}\ge x+y+z\)
\(\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{x+z}\ge4-\frac{2.\left(x+y+z\right)}{4}=4-2=2\)
\(B\ge2\)
Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{4}{3}\)
NH
3 tháng 2 2019
AP DUNG BDT CAUCHY-SCHWAR : \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)(DAU "=" XAY RA KHI \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\))
T
3 tháng 2 2019
...Cauchy-Schwarz:
\(Q\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{x+y+z}=\frac{36}{1}=36\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\\frac{1}{x}=\frac{2}{y}=\frac{3}{z}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x=y\\3y=2z\\z=3x\end{cases}}\)
Giải tiếp t cái dấu = :v
21 tháng 10 2019
\(A=\frac{\left(y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}{x}+\frac{\left(x+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}{y}+\frac{\left(x+y\right)\sqrt{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}{z}.\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có
\(\left(x+y\right)\left(x+z\right)\ge\left(x+\sqrt{yz}\right)^2\)
Tương tự \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\ge\left(y+\sqrt{xz}\right)^2\)
\(\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge\left(z+\sqrt{xy}\right)^2\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{\left(y+z\right)\left(x+\sqrt{yz}\right)}{x}+\frac{\left(x+z\right)\left(y+\sqrt{xz}\right)}{y}+\frac{\left(x+y\right)\left(z+\sqrt{xy}\right)}{z}\)
hay \(A\ge2\left(x+y+z\right)+\frac{\sqrt{yz}\left(y+z\right)}{x}+\frac{\left(x+z\right)\sqrt{xz}}{y}+\frac{\left(x+y\right)\sqrt{xy}}{z}\)
\(\Leftrightarrow A\ge2\left(x+y+z\right)+\frac{yz\sqrt{yz}\left(y+z\right)}{xyz}+\frac{xz\sqrt{xz}\left(x+z\right)}{xyz}+\frac{xy\sqrt{xy}\left(x+y\right)}{xyz}\)
Đặt \(M=\frac{yz\sqrt{yz}\left(y+z\right)}{xyz}+\frac{xz\sqrt{xz}\left(x+z\right)}{xyz}+\frac{xy\sqrt{xy}\left(x+y\right)}{xyz}\)
Ta có \(\left(x,y,z\right)\rightarrow\left(a^2,b^2,c^2\right)\)
Khi đó \(M=\frac{a^3b^3\left(a^2+b^2\right)+b^3c^3\left(b^2+c^2\right)+c^3a^3\left(a^2+c^2\right)}{a^2b^2c^2}\)
ÁP DỤNG BĐT AM-GM ta có
\(a^5b^3+a^3b^5\ge2\sqrt{a^8b^8}=2a^4b^4\)
\(b^5c^3+b^3c^5\ge2\sqrt{b^8c^8}=2b^4c^4\)
\(a^5c^3+a^3c^5\ge2\sqrt{a^8c^8}=2a^4c^4\)
Cộng từng vế ta được
\(a^3b^3\left(a^2+b^2\right)+b^3c^3\left(b^2+c^2\right)+c^3a^3\left(a^2+c^2\right)\ge2\left(a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\right)\)
\(\ge2a^2b^2c^2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow M\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow A\ge4\left(x+y+z\right)=4\sqrt{2019}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{2019}}{3}\)
T
29 tháng 9 2019
Theo em bài này chỉ có min thôi nhé!
Rất tự nhiên để khử căn thức thì ta đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0\)
Khi đó \(M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\) với abc = \(\sqrt{xyz}=1\) và a,b,c > 0
Dễ thấy \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
(chuyển vế qua dùng hằng đẳng thức là xong liền hà)
Do đó \(2M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Đến đây thì chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)
Áp dụng vào ta thu được: \(2M\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt[3]{abc}=1\)
Vậy...
P/s: Ko chắc nha!
Đặt a = y + z; b = z+ x; c = x+ y (a;b;c > 0)
=> x+ y + z = (a+b+c)/2
=> x= (a+b+c)/2 - a = (b+c- a)/2
y = (a+b+c)/2 - b = (a+c-b)/2; z = (a+b - c)/ 2
Khi đó \(P=\frac{b+c-a}{2a}+\frac{a+c-b}{2b}+\frac{a+b-c}{2c}=\frac{1}{2}.\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}-1+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}-1+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}-1\right)\)
=> \(P=\frac{b+c-a}{2a}+\frac{a+c-b}{2b}+\frac{a+b-c}{2c}=\frac{1}{2}.\left(\left(\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)-3\right)\right)\)
AD BĐT Cô - si có: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2;\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2;\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge2\)
=> \(P\ge\frac{1}{2}.\left(2+2+2-3\right)=\frac{3}{2}\)=> Min P = 3/2
Dấu "=" khi a = b = c<=> x = y = z
Áp dụng Cauchy - Schwarz và AM-GM :
\(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\)
\(=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{yz+xy}+\frac{z^2}{xz+yz}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3}}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra tại x=y=z