Question

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

Cho tam giác MNP có trọng tâm G thỏa mãn : 

\(cotGNP+cotGPM+cotGMN=3\sqrt{3}\) . Chứng minh tam giác MNP đều.

Answer 1

[Bùi Thị Vân]

Đặt độ dài các cạnh như hình vẽ trên.
Cô sẽ dùng kiến thức lượng giác lớp 10 để giải. Một cố công thức và bất đẳng thức cơ sở để làm bài này, các em có thể kham khảo trên các webside khác.

Áp dụng công thức \(cotA=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}\) ( S là diện tích của tam giác chứa góc A) 
 và dễ thấy \(S_{\Delta GMN}=S_{\Delta GNP}=S_{\Delta GMP}=\frac{1}{3}S_{\Delta MNP}\). Từ đó ta có:

\(cotGNP+cotGPM+cotGMN=\frac{a^2+y^2-b^2}{4S_{\Delta GNP}}+\frac{z^2+b^2-c^2}{4.S_{\Delta GPM}}+\frac{x^2+c^2-a^2}{4.S_{\Delta GMN}}\) 
                                                              \(=\frac{x^2+a^2-b^2+z^2+b^2-c^2+x^2+c^2-a^2}{4.\frac{1}{3}.S_{\Delta MNP}}\)
                                                             \(=\frac{x^2+y^2+z^2}{4.\frac{1}{3}.S_{\Delta MNP}}=3\sqrt{3}\)
 Suy ra:                          \(x^2+y^2+z^2=4\sqrt{3}.S_{\Delta MNP}\). (1) 
Áp dụng công thức: \(x=2R.sinP;y=2R.sinM;z=2r.sinN;S_{\Delta MNP}=2R.sinM.sinN.sinP\) ( R là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ). Thay vào (1) và rút gọn ta có:
\(sin^2M+sin^2N+sin^2P=2\sqrt{3}.sinM.sinN.sinP\)
\(\Leftrightarrow\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(sin^2M+sin^2N+sin^2P\right)=9.sinM.sinN.sinP\)(2) 
Áp dụng bất đẳng thức: Trong tam giác MNP bất kì ta có: \(sinM+sinN+sinP\le\frac{3\sqrt{3}}{2}\) vào vế trái của (2) ta có:
\(\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(sin^2M+sin^2N+sin^2P\right)\ge\left(sinM+sinN+sinP\right)\left(sin^2M+sin^2N+sin^2P\right)\)
                                                                  \(\ge3\sqrt[3]{sinM.sinN.sinP}.3\sqrt[3]{sin^2M.sin^2N.sin^2P}=9.sinM.sinN.sinP\).
 Dấu bằng xảy ra khi \(sinM=sinN=sinP\) hay \(\widehat{M}=\widehat{N}=\widehat{P}=60^o\). Hay tam giác MNP đều.