cho tam giác ABC vuông tại C, kẻ các trung tuyến AE=m và BF=n, Gọi r là bán kính dường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tính GTLN của
\(\frac{r^2}{m^2+n^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
11 tháng 7 2016
Đặt AB = c , AC = b , BC = a .
- Ta có : \(CE^2=AC^2+AE^2;BF^2=AB^2+AF^2\)
\(\Rightarrow BF^2+CE^2=AB^2+AC^2+\left(AE^2+AF^2\right)=AB^2+AC^2+EF^2\)
\(=AB^2+AC^2+\left(\frac{1}{2}BC\right)^2=BC^2+\frac{BC^2}{4}=\frac{5}{4}BC^2\)\(\Rightarrow m^2+n^2=\frac{5a^2}{4}\)
Lại có : \(S_{\Delta ABC}=p.r=\frac{a+b+c}{2}.r\Rightarrow\frac{ab}{2}=\frac{\left(a+b+c\right).r}{2}\) \(\Rightarrow r=\frac{ab}{a+b+c}\)
Mặt khác ta lại có : \(ab\le\frac{a^2+b^2}{2}\) , \(\left(a+b\right)^2=a^2+b^2+2ab>a^2+b^2\)
\(\Rightarrow a+b>\sqrt{a^2+b^2}\) \(\Rightarrow a+b+\sqrt{a^2+b^2}>2\sqrt{a^2+b^2}\) \(\Rightarrow\frac{1}{a+b+\sqrt{a^2+b^2}}< \frac{1}{2\sqrt{a^2+b^2}}\)
Ta có : \(r=\frac{ab}{a+b+c}=\frac{ab}{a+b+\sqrt{a^2+b^2}}< \frac{a^2+b^2}{4\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{4}=\frac{c}{4}\)
\(\Rightarrow r^2< \frac{c^2}{16}\Rightarrow\frac{r^2}{m^2+n^2}< \frac{c^2}{16}.\frac{4}{5c^2}=\frac{1}{20}\) . Vậy \(\frac{r^2}{m^2+n^2}< \frac{1}{20}\)
- Ta có : \(c^2=a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Rightarrow\frac{r^2}{c^2}=\frac{a^2b^2}{\left(a+b+\sqrt{a^2+b^2}\right).c^2}\le\frac{a^2b^2}{2ab\left(a+b+\sqrt{a^2+b^2}\right)}=\frac{ab}{2\left(a+b+\sqrt{a^2+b^2}\right)}\)
\(\le\frac{ab}{4ab\left(1+\sqrt{2}\right)^2}=\frac{1}{4\left(1+\sqrt{2}\right)^2}\) \(\Rightarrow\frac{4r^2}{5c^2}\le\frac{1}{5\left(1+\sqrt{2}\right)^2}=\frac{3-2\sqrt{2}}{5}\)
\(\Rightarrow\frac{r^2}{m^2+n^2}\le\frac{3-2\sqrt{2}}{5}\). Vậy Max \(\left(\frac{r^2}{m^2+n^2}\right)=\frac{3-2\sqrt{2}}{5}\Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow\)tam giác ABC vuông cân tại A.
CM
20 tháng 10 2018
Vì tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền BC.
Ta có: BC = 2R
Giả sử đường tròn (O) tiếp với AB tại D, AC tại E và BC tại F
Theo kết quả câu a) bài 58, ta có ADOE là hình vuông.
Suy ra: AD = AE = EO = OD = r
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
AD = AE
BD = BF
CE = CF
Ta có: 2R + 2r = BF + FC + AD + AE
= (BD + AD) + (AE + CE)
= AB + AC
Vậy AB = AC = 2(R + r)
29 tháng 1 2023
a: ΔOAB cân tại O
mà OM là trung tuyến
nênOM vuông góc AB
ΔOAC cân tại O
mà ON là trung tuyến
nên ON vuông góc AC
Xét tư giác AMON có
góc AMO+góc ANO=180 độ
=>AMON là tứ giác nội tiếp
b: Vì góc AMO=góc ANO=180 độ
nen AMON nội tiếp đường tròn đường kính AO
=>R'=AO/2=R/2
\(S=R'^2\cdot3.14=\left(\dfrac{R}{2}\right)^2\cdot3.14=R^2\cdot0.785\)
10 tháng 1 2021
a) Xét (O) có
ΔABC nội tiếp đường tròn(A,B,C∈(O))
AB là đường kính
Do đó: ΔABC vuông tại C(Định lí)
b) Xét ΔABC vuông tại C có
\(\sin\widehat{ABC}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{R}{2R}=\dfrac{1}{2}\)
hay \(\widehat{ABC}=30^0\)
Vậy: \(\widehat{ABC}=30^0\)
c)
Xét ΔOBC có OB=OC(=R)
nên ΔOBC cân tại O(Định nghĩa tam giác cân)
Xét ΔOBC cân tại O có OM là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BC(M là trung điểm của BC)
nên OM là đường phân giác ứng với cạnh BC(Định lí tam giác cân)
⇒\(\widehat{BOM}=\widehat{COM}\)
hay \(\widehat{BON}=\widehat{CON}\)
Xét ΔBON và ΔCON có
OB=OC(=R)
\(\widehat{BON}=\widehat{CON}\)(cmt)
ON chung
Do đó: ΔBON=ΔCON(c-g-c)
⇒\(\widehat{OBN}=\widehat{OCN}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{OBN}=90^0\)(NB⊥OB tại B)
nên \(\widehat{OCN}=90^0\)
hay NC⊥OC tại C
Xét (O) có
OC là bán kính
NC⊥OC tại C(cmt)
Do đó: NC là tiếp tuyến của (O)(Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn)