Question

[minh anh]

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB < BC < AC nội tiếp đường tròn (O). Kẻ các đường cao BD, CE cắt nhau tại H (D ∈ AC, E ∈ AB).

1)    Chứng minh BCDE là tứ giác nội tiếp.

2)    Chứng minh DA.DC = DH.DB.

3)    Vẽ đường tròn tâm H, bán kính HA cắt các tia AB, AC lần lượt tại M, N. Chứng minh OA vuông góc với MN.

4)    Các tiếp tuyến tại M , N của (H ; HA) cắt nhau tại P. Chứng minh AP đi qua trung điểm của BC.

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

a/

Ta có

\(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^o\) => E và D cùng nhìn BC dưới 1 góc \(90^o\)

=> E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính BC => BCDE là tứ giác nội tiếp

b/

Ta có H là trực tâm cuat tg ABC \(\Rightarrow AH\perp BC\)

Xét tg vuông ADH và tg vuông BCD có

\(\widehat{DAH}=\widehat{DBC}\) (cùng phụ với \(\widehat{ACB}\) )

=> tg ADH đồng dạng với tg BCD (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{DA}{DB}=\dfrac{DH}{DC}\Rightarrow DA.DC=DH.DB\)

c/

Gọi Q là giao của AO với (O)

Gọi I là giao của AO với ED

Gọi K là giao của AO với CE

Xét (H) có

\(HD\perp AN\) => DA=DN (trong đường tròn đường thẳng đi qua tâm và vuông góc với dây cung thì chia đôi dây cung )

\(HE\perp AM\) => EA=EM (lý do như trên)

Xét tg AMN có

\(\dfrac{DA}{DN}=\dfrac{EA}{EM}=1\) => ED//MN (talet đảo trong tam giác)

Xét tứ giác nt BCDE có

\(\widehat{DEC}=\widehat{DBC}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung DC) (1)

Xét (O) có

\(\widehat{ACB}=\widehat{AQB}\) (góc nt cùng chắn cung AB) (2)

Ta có \(\widehat{ABQ}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow QB\perp AB\) mà \(CE\perp AB\) => CE//QB \(\Rightarrow\widehat{AKE}=\widehat{AQB}\) (góc đồng vị) (3)

Từ (2) và (3) \(\Rightarrow\widehat{AKE}=\widehat{ACB}\) (4)

Xét tg vuông BCD có

\(\widehat{ACB}+\widehat{DBC}=90^o\) (5)

Từ (1) (4) (5) \(\Rightarrow\widehat{AKE}+\widehat{DEC}=90^o\)

Xét tg IKE có

\(\widehat{AKE}+\widehat{DEC}=90^o\Rightarrow\widehat{EIK}=90^o\Rightarrow AO\perp ED\)

Mà ED//MN (cmt)

\(\Rightarrow AO\perp MN\)