Cho\(\frac{a}{c}=\frac{c}{b}\)Chung minh rang \(\frac{a^2+c^2}{b^2+c^2}=\frac{a}{b}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LH
Cho a,b,c>0.Chung minh rang \(\frac{a^2}{b+2c}+\frac{b^2}{c+2a}+\frac{c^2}{a+2b}\ge\frac{a+b+c}{3}\)
1
29 tháng 1 2020
Ta có:
\(\left(\frac{a^2}{b+2c}+\frac{b^2}{c+2a}+\frac{c^2}{a+2b}\right)\left[\left(b+2c\right)+\left(c+2a\right)+\left(a+2b\right)\right]\)
\(\ge\left[\sqrt{\frac{a^2}{b+2c}.\left(b+2\right)}+\sqrt{\frac{b^2}{c+2a}.\left(c+2a\right)}+\sqrt{\frac{c^2}{a+2b}.\left(a+2b\right)}\right]^2\)
\(=\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(\frac{a^2}{b+2c}+\frac{b^2}{c+2a}+\frac{c^2}{a+2b}\right)\left[3\left(a+b+c\right)\right]\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b+2c}+\frac{b^2}{c+2a}+\frac{c^2}{a+2b}\ge\frac{a+b+c}{3}\left(đpcm\right)\)
KB
7 tháng 12 2017
Ta có:\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=4\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ca}=4\)
\(\Rightarrow2+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ca}=4\Rightarrow\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ac}=2\Rightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
\(\Rightarrow\frac{a}{abc}+\frac{b}{abc}+\frac{c}{abc}=1\Rightarrow\frac{a+b+c}{abc}=1\Rightarrow a+b+c=abc\)
\(\Rightarrowđpcm\)
LM
7 tháng 12 2017
Ta có: \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ac}\)
\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2.\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)\)
\(\Rightarrow2^2=2+2.\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)\)
\(\Leftrightarrow2=.2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{abc}+\frac{a}{abc}+\frac{b}{abc}=\frac{abc}{abc}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=abc\)
\(\RightarrowĐPCM\)
20 tháng 12 2015
\(\frac{a}{c}=\frac{c}{b}\Leftrightarrow c^2=ab\)
\(\Rightarrow\frac{b^2-a^2}{a^2+c^2}=\frac{\left(b-a\right)\left(b+a\right)}{a^2+ab}=\frac{\left(b-a\right)\left(b+a\right)}{a\left(a+b\right)}=\frac{b-a}{a}\)
TV
1
3 tháng 4 2020
cho 1/a+1/b+1/c=2 va :a+b+c=abc
.chung minh rang:
.
NN
Nguyễn Ngọc Anh Minh
CTVHS
VIP
27 tháng 9 2016
a/ \(\frac{a+b}{a-b}-\frac{c+a}{c-a}=\frac{\left(a+b\right)\left(c-a\right)-\left(c+a\right)\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}=.\)
\(=\frac{\left(ac-a^2+bc-ab\right)-\left(ac-bc+a^2-ab\right)}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}=\frac{2bc-2a^2}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}=\)
\(=\frac{2bc-2bc}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}=0\Rightarrow\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+a}{c-a}\)
b/ \(=\frac{bc+c^2}{b^2+bc}=\frac{c\left(b+c\right)}{b\left(b+c\right)}=\frac{c}{b}\) (dpcm)
PC
1
10 tháng 12 2019
em hãy thay b2=ac vào biểu thức trên :
ta đổi được:
=a2+ac / ac+c2
=a *(a+c) / c *(a+c)
rút gon a+c ta được :a/c
tự kết luận nha
chúc em học tốt
Y
23 tháng 5 2019
+ \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{a-b}=\frac{c}{c-d}\)
+ \(\frac{a}{c}=\frac{3a}{3c}=\frac{b}{d}=\frac{3a+b}{3c+d}\) \(\Rightarrow\frac{a}{3a+b}=\frac{c}{3c+d}\)
+ \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}\Rightarrow\frac{a^2}{c^2}=\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\)
\(\Rightarrow\frac{a\cdot b}{c\cdot d}=\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\)
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\Rightarrow\frac{a\cdot c}{b\cdot d}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)
câu cuối lm tương tự
23 tháng 10 2020
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz dạng Engel ta có :
\(VT\ge\frac{\left(2b+3c+2c+3a+2a+3b\right)^2}{a+b+c}\)
\(=\frac{\left(5a+5b+5c\right)^2}{a+b+c}=\frac{\left[5\left(a+b+c\right)\right]^2}{a+b+c}\)
\(=\frac{25\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=25\left(a+b+c\right)=VP\)
=> đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
Từ giả thiết ta suy ra ab=c2
Thay số vào ta có : \(\frac{a^2+ab}{b^2+ab}=\frac{a\left(a+b\right)}{b\left(b+a\right)}=\frac{a}{b}\)
=> đcpcm
__cho_mình_nha_chúc_bạn_học _giỏi__
\(THANKS\)\(VERY\)\(MUCH\)