Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM + AN = 2AB
a) Chứng minh: BM = CN
b) Chứng minh: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN
c) Đường trung trực của đoạn thẳng MN và tia phân giác của góc BAC cắt nhau tại K. Chứng minh KC vuông góc AN
a/
AM+AN=2AB
Mà
AM=AB-BM
AN=AC+CN
tg ABC cân tại A => AB=AC
=> AB-BM+AB+CN=2AB => BM=CN
b/
Từ N dựng đường thẳng //AB cắt BC kéo dài tại D
Ta có
\(\widehat{ABC}=\widehat{CDN}\) (góc so le trong) (1)
\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (góc ở đáy tg cân ABC) (2)
\(\widehat{ACB}=\widehat{DCN}\) (góc đối đỉnh) (3)
Từ (1) (2) (3) => \(\widehat{CDN}=\widehat{DCN}\) => tg NCD cân tại N => CN=DN
Mà CN=BM (cmt)
=> BM=DN mà DN//BM => BMDN là hình bình hành (Tứ giác có cawoj cạnh đối // và = nhau là hbh)
=> IM=IN (trong hbh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)