x,y dương thỏa mãn x+ 1/y =< 1 Tìm min A = x/y + y/x
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
0
MY
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 5 2021
\(P=\dfrac{1}{2021}\left(\dfrac{2021^2}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\ge\dfrac{1}{2021}.\dfrac{\left(2021+1\right)^2}{x+y}=\dfrac{1}{2021}.\dfrac{2022^2}{\dfrac{2022}{2021}}=2022\)
\(P_{min}=2022\) khi \(\left(x;y\right)=\left(1;\dfrac{1}{2021}\right)\)
25 tháng 5 2021
sao cái đoạn \(\dfrac{1}{2021}\left(\dfrac{2021^2}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\ge\dfrac{1}{2021}.\dfrac{\left(2021+1\right)^2}{x+y}\) làm kiểu gì ra thầy :)
BT
13 tháng 4 2018
Ta có: \(A=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2=\frac{1}{2}\left(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\right)\left(1^2+1^2\right)\)
Áp dụng BĐT Bunhiacoxki có:
\(A=\frac{1}{2}\left(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\right)\left(1^2+1^2\right)\ge\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\right)^2\)
=> \(A\ge\frac{1}{2}\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2\)
Theo BĐT Cauchy thì: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
=> \(A\ge\frac{1}{2}\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2=\frac{1}{2}\left(1+\frac{4}{1}\right)^2=\frac{25}{2}\)
=> \(A_{min}=\frac{25}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1/2
VT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 5 2021
\(4\le\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{y}+1\right)\le\dfrac{1}{4}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\ge4\)
\(\Rightarrow2\le\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\sqrt{2\left(x+y\right)}\Rightarrow x+y\ge2\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x+y}=x+y\ge2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
7 tháng 5 2021
Dạ có thể diễn đạt theo cách dễ hiểu cho đứa ngu lâu dốt bền như em được không ạ ? ._.
23 tháng 1 2021
1) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM và bất đẳng thức Schwarz:
\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{4}{a+\dfrac{a+b}{2}}=\dfrac{8}{3a+b}\ge8\).
Đẳng thức xảy ra khi a = b = \(\dfrac{1}{4}\).
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 1 2021
2.
\(4=a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2\sqrt{2}\)
Đồng thời \(\left(a+b\right)^2\ge a^2+b^2\Rightarrow a+b\ge2\)
\(M\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b+2\right)}=\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}\) (với \(x=a+b\Rightarrow2\le x\le2\sqrt{2}\) )
\(M\le\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1\)
\(M\le\dfrac{\left(2\sqrt{2}-x\right)\left(x+4-2\sqrt{2}\right)}{4\left(x+2\right)}+\sqrt{2}-1\le\sqrt{2}-1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=2\sqrt{2}\) hay \(a=b=\sqrt{2}\)
3. Chia 2 vế giả thiết cho \(x^2y^2\)
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\)
\(\Rightarrow0\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\le4\)
\(A=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\right)=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\le16\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
28 tháng 8 2018
\(A=\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\left(1-\frac{1}{y^2}\right)=1+\frac{1}{x^2y^2}-\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)=1+\frac{\left(x+y\right)^2}{x^2y^2}-\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)\)
\(=1+\frac{x^2+2xy+y^2}{x^2y^2}-\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)=1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy}-\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)=1+\frac{2}{xy}\)
\(=1+\frac{2\left(x+y\right)}{xy}=1+\frac{2x+2y}{xy}=1+\frac{2}{x}+\frac{2}{y}=1+\frac{\left(\sqrt{2}\right)^2}{x}+\frac{\left(\sqrt{2}\right)^2}{y}\)
\(>=1+\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{2}\right)^2}{x+y}=1+\frac{\left(2\sqrt{2}\right)^2}{1}=1+8=9\)(bđt cauchy schawarz dạng engel)
dấu = xảy ra khi \(\frac{2}{x}=\frac{2}{y}\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
vậy min A là 9 khi x=y=\(\frac{1}{2}\)
L
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 1
Do \(x-y=\dfrac{x+y}{\sqrt{xy}}>0\Rightarrow x>y\)
Khi đó:
\(\sqrt{xy}\left(x-y\right)=x+y\Rightarrow xy\left(x-y\right)^2=\left(x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow xy\left[\left(x+y\right)^2-4xy\right]=\left(x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(xy-1\right)\left(x+y\right)^2=4x^2y^2\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2=\dfrac{4x^2y^2}{xy-1}\)
Do vế trái dương nên vế phải dương \(\Rightarrow xy-1>0\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2=\dfrac{4x^2y^2-4+4}{xy-1}=4xy+4+\dfrac{4}{xy-1}=4\left(xy-1\right)+\dfrac{4}{xy-1}+8\)
\(\ge2\sqrt{4\left(xy-1\right).\dfrac{4}{xy-1}}+8=16\)
\(\Rightarrow x+y\ge4\)
\(P_{min}=4\) khi \(\left(x;y\right)=\left(2+\sqrt{2};2-\sqrt{2}\right)\)